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è la superficie sferica di centro b e passante per a. Gli accenti introdotti in queste due definizioni figurano in certo modo come segno d’inversione. Essi permettono di risolvere la relazione c ∈ ab rispetto ad una qualunque delle tre lettere (§3 P4). Il segno ab′ si può leggere «il prolungamento, dalla parte di a, del segmento ab».
P3. «Se a è un punto, e k è una classe di punti, allora con ak si intende l’insieme di tutti i punti x che hanno la proprietà che esistono degli y, appartenenti alla classe k, tali che x sia un ay».
P4. «Nelle stesse ipotesi, a′k è il luogo dei punti x che stanno su qualche a′y, ove y appartenga a k».
P5. «E con ak′ si intende la figura formata dai prolungamenti dalla parte di a, dei segmenti che vanno da a ai varii punti di k».
P6. «Se h e k sono due figure, con hk si intende l’insieme dei punti x aventi la proprietà che si può determinare un y, punto di h, in guisa che x appartenga alla figura yk». Più brevemente (§3 P17), hk è la figura formata dai segmenti che vanno dai varii punti di h ai varii punti di k.
Le definizioni 3 — 8 permettono di indicare con segni un gran numero di enti geometrici. Così abc indica un triangolo; abcd, ovvero (ab)(cd), indicano tetraedri; a′bc indica la porzione di piano limitata dal segmento bc e dai due raggi a′b e a′c; a′b′c è l’angolo formato dai due raggi a′c e b′c; ab′c è la porzione di piano limitata dal raggio b′c, dal segmento ac, e dal raggio condotto da a parallelamente a b′c; a′b′c′d è un angolo triedro, ecc. Questo in generale. Ma quei segni, e altri più complicati hanno pure significato, se i punti giacciono in un piano, o sono in linea retta. Così a′ab indica il raggio avente per termine a e contenente b.
Se col segno 1 si intendono i numeri (reali e finiti), e colla relazione c ∈ ab si intende un’equazione fra a, b, c della forma f (a, b, c) = 0, allora la scrittura d ∈ abc (d è un punto del triangolo abc) rappresenta la relazione fra a, b, c, d che risulta eliminando x fra le due equazioni f (b, c, x) = 0 e f (a, x, d) = 0.
P9. Questa definizione è sufficiente per le nostre ricerche geometriche. Ma data una classe h, applicando un numero finito di volte le definizioni 6, 7, 8 si ottengono delle classi, come hh, h′h,
