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zioni di proposizioni e gruppi di proposizioni, aventi massima analogia colle trasformazioni delle equazioni algebriche simultanee. Queste trasformazioni, o identità logiche, di cui facciamo continuamente uso nei nostri ragionamenti, si possono enunciare e studiare.
La raccolta delle identità logiche di cui facciamo uso fu già fatta nel mio opuscolo menzionato; molte di esse furono raccolte dal Boole. Il loro numero è grande; sarebbe uno studio interessante, e che finora manca, il distinguere le fondamentali, che si debbono ammettere senz’altro, dalle rimanenti, contenute nelle fondamentali. Questa ricerca porterebbe ad uno studio, sulla Logica, analogo a quello qui fatto per la Geometria, e nel precedente opuscolo per l’Aritmetica.
Nelle note seguenti trovansi alcuni saggi di queste trasformazioni.
P1. «Se a e b sono punti, si deduce: dire che c è un a′b, equivale a dire che c è un punto e che b è un ac. Dimostrazione: Questa prop. è equivalente alla P1 del §2».
È evidente che questa prop. è la def. 1 leggermente trasformata. Volendo esaminare più attentamente come la def. 1 si trasformi in questa, si sostituisca nella prop. c ∈ a′b, al posto di a′b, il valore dato dalla def. 1. Si avrà: c ∈ a′b . = . c ∈ (1. [x ∈] (b ∈ a x)). Ora un’identità logica dice che, se h e k sono due classi di enti, si ha a ∈ h ∩ k . = : a ∈ h . a ∈ k. Applicando questa riduzione al secondo membro dell’equazione precedente, si avrà c ∈ a′b . = : c ∈ 1 . c ∈ [x ∈] (b ∈ ax). Ora, se α è una relazione contenente una lettera x, la proposizione c ∈ [x ∈] α, cioè c è uno di quegli enti x che soddisfano alla condizione α, è equivalente alla proposizione che si ottiene sostituendo in α, al posto di x, c; quindi c ∈ [x ∈] (b ∈ ax) . = . b ∈ ac. Tenendo conto di questa identità si ha la formola a dimostrarsi.
Viceversa, da questa proposizione si può dedurre la P1 del § precedente. Si faccia precedere ai due membri dell’eguaglianza tesi il segno [c ∈]; osservando che [c ∈] c ∈ a′b . = a′b, poichè i due segni [c ∈] e c ∈ si distruggono, e che [c ∈] (c ∈ 1 . b ∈ ac) vale 1. [c ∈] (b ∈ ac), in virtù dell’identità logica [c ∈] (α β) . = : [c ∈] α . [c ∈] β, si avrà la prop. 1 del §2, ove al posto di x si legge c.
Noi ci fermeremo in seguito pochissimo nell’esame della trasfor-
