Pagina:Peano - Principii di geometria, 1889.djvu/35

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ove a è una proposizione, o gruppo di proposizioni, non contenente la x, e h e k sono classi.

Allora la stessa proposizione si può scrivere:

a.⊃.hk,

nella quale non comparisce più la lettera x».

L’assioma VIII ha già la forma voluta per l’eliminazione di b (si osservi che b ∈ 1. bac: = : bac). Eliminando b, si ha la P2; da questa con uno scambio di lettere, la 3. Dalla 3 e dalla 4, la quale si ottiene dalla 3 permutando a con b, si ha la proposizione 5 che comprende le precedenti.

Dalla 7, eliminando c, si ha la 8. Dalla 9 si deduce la 10 prima eliminando b, e poi sostituendo la lettera b a c.

Qui per brevità si è già tralasciato di enunciare la proposizione intermedia; e in generale, man mano che si progredisce, aumenta il numero delle proposizioni intermedie omesse. Dalla stessa proposizione 7, che si può mettere sotto la forma 9, eliminando c si ha la 10. E questo gruppo di proposizioni è compendiato nella 11.

Eliminando invece, dall’assioma da cui partiamo, il d, si ha la proposizione 12. Onde eseguire questa eliminazione occorre risolvere le proposizioni cad e bad, che contengono d, rispetto a questa lettera, scrivendo al posto di esse da’c e da’b; allora si applica la regola enunciata.

Le proposizioni 13-17 costituiscono un altro gruppo; l’ultima contiene tutte le precedenti.

La 18 non ha propriamente la forma HpTs, che hanno le precedenti. Si può mettere sotto questa forma trasportando una delle proposizioni che costituiscono l’ipotesi nel secondo membro; essa si può per esempio leggere

a, b, c ∈ 1. c ∈ ab: ⊃. b — ∈ ac.

Allora si può eseguire l’eliminazione d’una qualunque delle tre lettere che vi compaiono colla regola esposta. Ma volendo considerare la proposizione sotto la forma che essa ha, si può usare la regola seguente.

«Avendosi un proposizione, il cui secondo membro sia ∧, e il cui primo membro contenga un’indeterminata x, si risolvano, ove