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si ha la 22; eliminando d si ha la 27. L’eliminazione di b darebbe nulla d’importante.
Le proposizioni più importanti di questo § sono le 4, 16, 19, 20, 21, 30, 31, 35, 43, 46.
Le altre, o sono trasformazioni intermediarie, oppure proposizioni che saranno completate dagli assiomi che seguono.
§ 8.
All’Assioma X si può sostituire la proposizione seguente:
a,b ∈ 1.c, d∈ a’b:⊃ .·.e∈ 1.c, d∈ae:— = e∧.
«Se a e b sono punti, e c,d sono punti del raggio a’b allora esiste un punto e tale che i punti c e d appartengano al segmento ae».
Si immagini una porzione di superficie qualunque, e dicansi 1 i punti interni ad essa. Si supponga che esista sempre uno ed un solo arco di geodetica congiungente due punti qualunque della superficie data, e che esso sia sempre interno alla porzione considerata. Indicando con ab l’arco di geodetica che unisce i due punti a e b, interni a quella porzione di superficie, sussisteranno tutti gli assiomi precedenti il X; questo, a seconda dei casi, potrà essere vero, o non; quindi esso non è conseguenza dei precedenti.
Le proposizioni più importanti di questo § sono le 4, 12, 15, 19.
§ 9.
Gli assiomi X e XI si possono sostituire con questa sola proposizione:
a,b,c,d∈ 1.p,q∈ab. p,q∈cd.p— =q:⊃.·.x,y∈ 1.a,b,c,d∈x,y:— = xy∧.
«Se a,b,c,d sono punti ed i segmenti ab e cd hanno comuni due punti distinti, quei quattro punti appartengono ad uno stesso segmento».
Sono a notarsi le P. 3, 5, 8, 15, ecc.
Molte altre proposizioni si possono dedurre dagli assiomi finora enunciati. Si lascia al lettore la cura di esaminare da quali di
