Pagina:Scientia - Vol. IX.djvu/11

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i numeri e l’infinito 3

3) Proprietà transitiva:

se
e
anche

Intatti se un elemento si pensa associato ad uno , e questo ad uno , restano associati nel pensiero e . (La corrispondenza così ottenuta fra e dicesi prodotto di quelle poste fra e e fra e ).

A queste proprietà si aggiunge la seguente:

4) Se una classe contiene tutti gli elementi di e qualche altro elemento, le due classi e non sono equivalenti.

Si abbiano le classi

.


dove si suppone per semplicità che la classe contenga un solo elemento, , oltre gli .

Se fosse

,


si avrebbe fra le due classi una corrispondenza biunivoca. In questa ad corrisponderebbe un certo elemento di . Togliamo ed dalle due classi rispettivamente; avremo:


Ora fra (preste due classi intercede una corrispondenza, in cui ad corrisponde un certo elemento ; tolti , rispettivamente dalle due classi, rimangono classi equivalenti e così via di seguito. Ma seguitando a togliere successivamente gli oggetti di una classe, materialmente dati, la classe si esaurisce; si arriva pertanto a ridursi al caso di una classe composta, d’un solo oggetto ; e si trova che questa dovrebbe essere equivalente ad una classe che contiene anche un altro elemento:


Questa conclusione è evidentemente assurda perchè se si fa corrispondere l’elemento della prima classe all’uno o all’altro elemento della seconda, rimane sempre in questa seconda classe un elemento a cui non viene associato alcun elemento della prima.