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“scientia„

è chiaro ch’essa è equivalente a quella che si ottiene togliendo il primo numero:

$2,3,4,\ldots n'\ldots$

perchè fra le due intercede la corrispondenza:

$n'=n+1$

Parimente, mercè una riduzione proporzionale (similitudine) un segmento, una retta, una figura qualsiasi del piano o dello spazio, può essere posta in corrispondenza con una sua parte.

Sembra che vi sia qui una proprietà generale: tutte le volte che è data una classe infinita, riconosciamo in essa una parte equivalente al tutto.

Cerchiamo di provare che questa proprietà sussiste infatti per ogni classe infinita.

Anzitutto: se una classe è numerabile, cioè può essere fatta corrispondere biunivocamente alla serie infinita dei numeri $1,2,3\ldots$, essa è equivalente ad una sua parte (quella che corrisponde alla serie $2,3,4,\ldots$).

In secondo luogo: se una classe C contiene una serie numerabile S, si può porre come innanzi una corrispondenza, fra S ed una sua parte ed in pari tempo far corrispondere ad ogni elemento di C, fuori di S, sè stesso: con ciò resta provato che C è equivalente ad una sua parte.

In terzo luogo si consideri una classe C qualsiasi: si scelga in C un elemento arbitrario che si designerà con 1, quindi un secondo elemento che si designerà con 2, e così via. Se, dopo un numero finito di scelte la classe è esaurita, essa corrisponde ad una classe finita $(1,2,3\ldots n)$ ed è finita come questi; se così non è sembra che la classe C contenga una classe numerabile in corrispondenza colla serie infinita $(1,2,3\ldots )$, e però che essa sia equivalente ad una sua parte.

Tuttavia questa deduzione contiene un punto delicato: infatti essa suppone la possibilità di compiere entro C, non solo un numero grande di scelte, ma un numero infinito di scelte arbitrarie. Questa possibilità trascende le facoltà del pensiero umano, a meno che non si possa fissare una regola che determini a priori le scelte successive dipendentemente da un numero finito di operazioni. Una regola siffatta è facile a trovare per tutte le classi di cui il nostro pensiero ha effettivamente costruito un’immagine; ma l’indeterminatezza del concetto generale di classe lascia indecisa la questione se la