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| i numeri e l’infinito | 17 |
possibilità di una tal regola sia data per ogni classe. Facendo l’ipotesi affermativa, che si traduce in una eventuale restrizione del concetto di classe, si ha dunque che: la possibilità di stabilire una corrispondenza fra una classe ed una sua parte appartiene a tutte le classi infinite e costituisce quindi un carattere distintivo fra le classi infinite e le classi finite.
8. Potenza delle classi infinite.
Ora accenneremo come la teoria dei numeri cardinali, relativi a classi finite, abbia dato luogo ad una estensione per le classi infinite. Il concetto di potenza di una classe, dovuto a G. Cantor, risponde appunto al concetto di numero cardinale infinito.
A base di questa teoria di Cantor sta l’osservazione che il confronto di due classi infinite può dar luogo, come per lo classi finite, a un giudizio di equivalenza o di prevalenza.
Due classi sono equivalenti se tra gli elementi dell’una e quelli dell’altra intercede una corrispondenza biunivoca. Tale relazione soddisfa, come per il caso delle classi finite, alle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Una classe è prevalente ad un’altra quando si può porre una corrispondenza biunivoca fra gli elementi di questa e gli elementi di una parte di quella. Come per le classi finite, la prevalenza fra classi infinite soddisfa alla proprietà transitiva; ma, a differenza di quel caso, soddisfa anche alla proprietà riflessiva; inoltre essa può soddisfare anche, in qualche caso, alla proprietà simmetrica, che non appartiene mai alla prevalenza fra classi finite.
Queste differenze si riconducono alla circostanza fondamentale che:
Una classe infinita può essere contemporaneamente equivalente e prevalente ad un’altra.
Però sussiste il
Teorema di Bernstein: Se A e B sono due classi, ciascuna delle quali è prevalente all’altra, A e B sono classi equivalenti.
Dimostriamo questo teorema fondamentale valendoci delle semplificazioni dovute a Peano e a Padoa.
Secondo l’ipotesi, è data una corrispondenza biunivoca fra A e una parte B di B’, e un’altra corrispondenza biunivoca fra B e una parte A’ di A. In questa seconda corrispondenza a B’ corrisponderà una parte A’’ di A’.
