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ulisse dini

Prendendo infatti, per la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, la serie $\sum {\frac {1}{n}}$, si ha

$h_{n}=n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1)={\frac {(a_{1}-b_{1}-1)+{\dfrac {a'_{n}}{n}}+\cdots }{1+{\dfrac {b_{1}}{n}}+\cdots }};$

e di qui si vede intanto che $\sum u_{n}$ è convergente o divergente secondo che $a_{1}-b_{1}\gtrless 1$.

Nel caso poi di $a_{1}-b_{1}=1$, si vede subito, pel teorema precedente, che $\sum u_{n}$ è ancora divergente, giacchè in questo caso $h_{n}$ tende a zero ed è impossibile trovare una serie divergente $\sum {\frac {1}{n\theta (n)}}$ tale che $\lim \theta (n)h_{n}>0$, poichè dalla espressione di $h_{n}$ si vede che, onde si avesse $\lim \theta (n)h_{n}>0$, $\theta (n)$ dovrebbe divenire infinita almeno del primo ordine rispetto ad $n$, e allora la serie $\sum {\frac {1}{n\theta (n)}}$ verrebbe convergente poichè le serie $\sum {\frac {1}{n^{1+\mu }}}$ sono tutte convergenti qualunque sia la costante positiva $\mu$.

27. Notiamo che al modo stesso si vede anche che: La serie $\sum u_{n}$ nella quale si ha

${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}={\frac {n^{\lambda }+a_{1}n^{\lambda _{1}}+a_{2}n^{\lambda _{2}}\cdots +a_{p}n^{\lambda _{p}}}{n^{\lambda }+b_{1}n^{\lambda _{1}}+b_{2}n^{\nu _{2}}\cdots +b_{q}n^{\nu _{q}}}},$

ove gli esponenti sono costanti e in ordine decrescente, e i coefficienti ${\rm {a}}$ e ${\rm {b}}$ sono funzioni di ${\rm {n}}$ che non crescono indefinitamente con ${\rm {n}}$, sarà convergente o divergente secondochè

$\lim(a_{1}-b_{1})\gtrless 1;$

e sarà divergente anche quando

$\lim(a_{1}-b_{1})=1,$

purchè ${\rm {a_{1}-b_{1}-1}}$ col crescere indefinitamente di ${\rm {n}}$ divenga infinitesimo di ordine finito rispetto ad ${\frac {1}{\rm {n}}}$.