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ulisse dini

si ha che la serie

$\sum {\frac {1}{\left(n+{\dfrac {1}{n}}+{\dfrac {1}{\log n}}\right)}}\times$

$\times {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{\left({\dfrac {\log \left(1+{\dfrac {1}{2}}\right)}{\log 2\log 3}}+3\right)\left({\dfrac {\log \left(1+{\dfrac {1}{3}}\right)}{\log 3\log 4}}+4\right)\cdots \left({\dfrac {\log \left(1+{\dfrac {1}{n-1}}\right)}{\log(n-1)\log n}}+n\right)}}$

è divergente.

28. Supponendo che nella serie $\sum u_{n}$ si abbia

${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1+{\frac {g}{n}}+{\frac {g'}{n^{2}}}+\cdots$

cogli stessi teoremi si trova che essa è convergente o divergente secondochè $\lim g\lessgtr -1$, ed è pure divergente quando $\lim g=-1$ purchè l’ordine di infinitesimo di ${\rm {g+1}}$ sia finito.

In questo caso infatti si ha

$h_{n}=n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1)={\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\left\{n-(n+1){\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right\}=$

$={\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\left\{-g-1-{\frac {g'}{n}}\cdots \right\}$

e secondochè $\lim g\lessgtr -1$ la serie è convergente o divergente; se poi $\lim g_{n}=-1$, e $g+1$ diviene infinitesimo di ordine finito rispetto ad ${\frac {1}{n}}$, è impossibile trovare una serie divergente $\sum {\frac {1}{n\theta (n)}}$ tale che $\lim \theta (n)h_{n}>0$, e quindi $\sum u_{n}$ è divergente.

29. Termineremo questo lavoro col dimostrare il seguente teorema: Se $\sum {\rm {u_{n}}}$ è una serie divergente i cui termini sono positivi e non crescono indefinitamente con ${\rm {n}}$, e se $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n},\ldots$ sono quantità che non tendono a zero e tali che a partire da un certo valore di ${\rm {n}}$ i binomj $(1-\alpha _{\rm {n}}{\rm {{u_{n}})}}$ siano tutti positivi, la serie

$\sum v_{n}=\sum u_{n}(1-\alpha _{1}u_{1})(1-\alpha _{2}u_{2})\cdots (1-\alpha _{n}u_{n})$