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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

$\hat{y} = (σ \sqrt{2 π})^{- 1} \approx 0.4 / σ$ . La larghezza a metà altezza^[1] è pari all’ampiezza dell’intervallo che separa i due punti $x_{1}$ ed $x_{2}$ di ascissa $μ \pm σ \sqrt{2 \ln 2}$ e di ordinata $y_{1} = y_{2} = \hat{y} / 2$ : e vale quindi $2 σ \sqrt{2 \ln 2} \approx 2.35 σ$ .

La funzione generatrice dei momenti è definita attraverso l’equazione (6.4) e, nel caso della distribuzione normale, abbiamo

$M_{x} (t)$	= $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{t x} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} d x$
	$= \frac{e^{t μ}}{σ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{t (x - μ)} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} d x$
	$= \frac{e^{t μ}}{σ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{[\frac{σ^{2} t^{2}}{2} - \frac{(x - μ - σ^{2} t)^{2}}{2 σ^{2}}]} d x$
	$= e^{(t μ + \frac{σ^{2} t^{2}}{2})} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} [\frac{x - (μ + σ^{2} t)}{σ}]^{2}} d x$ .

Riconoscendo nell’argomento dell’integrale la funzione $N (x; μ + σ^{2} t, σ)$ , ovverosia la funzione normale relativa ai parametri $μ + σ^{2} t$ e $σ$ , è immediato capire che esso vale 1 in conseguenza della condizione di normalizzazione; quindi la funzione generatrice dei momenti, per la distribuzione normale, è data da

M_{x} (t) = e^{(t μ + \frac{σ^{2} t^{2}}{2})}

(8.2)

e, con passaggi simili, si potrebbe trovare la funzione caratteristica della distribuzione normale: che vale

ϕ_{x} (t) = e^{(i t μ - \frac{σ^{2} t^{2}}{2})}

.

(8.3)

Sfruttando la (8.2) è facile calcolare la speranza matematica della distribuzione normale:

$E (x) = {\frac{d M_{x} (t)}{d t} |}_{t = 0} = μ$ ;

la funzione generatrice dei momenti rispetto alla media $μ$ vale allora

{\overline{M}}_{x} (t) = e^{- t μ} M_{x} (t) = e^{\frac{σ^{2} t^{2}}{2}}

(8.4)

e dalla (8.4) si ricava poi la varianza della x,

$Var (x) = {\frac{d^{2} {\overline{M}}_{x} (t)}{d t^{2}} |}_{t = 0} = σ^{2}$ .

↑ In genere indicata con la sigla FWHM, acronimo di full width at half maximum; è un parametro talvolta usato nella pratica per caratterizzare una curva, perché facile da misurare su un oscilloscopio.

[1] In genere indicata con la sigla FWHM, acronimo di full width at half maximum; è un parametro talvolta usato nella pratica per caratterizzare una curva, perché facile da misurare su un oscilloscopio.

[1]