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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

Questa distribuzione di probabilità prende il nome di distribuzione binomiale negativa¹; il motivo di tale nome è che l’equazione (8.12) può essere riscritta in forma compatta sfruttando una “estensione” dei coefficienti binomiali che permette di definirli anche per valori negativi di N. La funzione generatrice dei momenti è

$M_{x}(t)=E(e^{tx})=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{N}$;

da questa si possono poi ricavare la speranza matematica

$E(x)={\frac {Nq}{p}}$,

e la varianza

${\text{Var}}(x)=N{\frac {q}{p^{2}}}$.

La distribuzione binomiale negativa con $N=1$ prende il nome di distribuzione geometrica; la probabilità (8.12) diventa

$f(x;p)=pq^{x}$,

ed è quella dell’evento casuale consistente nell’ottenere il primo successo dopo esattamente x insuccessi; ponendo $N=1$ nelle formule precedenti, speranza matematica e varianza della distribuzione geometrica sono rispettivamente

$E(x)={\frac {q}{p}}$

e

${\text{Var}}(x)={\frac {q}{p^{2}}}$.

8.5 La distribuzione di Poisson

Sia E un evento casuale che avvenga rispettando le seguenti ipotesi:

1. La probabilità del verificarsi dell’evento E in un intervallo di tempo² molto piccolo (al limite infinitesimo) dt è proporzionale alla durata di tale intervallo;

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1. La distribuzione binomiale negativa è talvolta chiamata anche distribuzione di Pascal o di Pólya.
2. Sebbene ci si riferisca, per esemplificare le nostre considerazioni, ad un processo temporale (e si faccia poi l’esempio del numero di decadimenti in un intervallo costante