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8.5 - La distribuzione di Poisson

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2. Il verificarsi o meno dell’evento in un certo intervallo temporale è indipendente dal verificarsi o meno dell’evento prima o dopo di esso;
3. La probabilità che più di un evento si verifichi in un tempo infinitesimo dt è infinitesima di ordine superiore rispetto a dt.

vogliamo ora ricavare la probabilità $P(x;t)$ che in un intervallo di tempo finito, di durata t, si verifichi esattamente un numero prefissato x di eventi E. Usando questa simbologia, la prima ipotesi fatta sul processo casuale in esame si scrive

$P(1;\mathrm {d} t)=\lambda \,\mathrm {d} t$

$\Longrightarrow$

$P(0;\mathrm {d} t)=1-\lambda \,\mathrm {d} t$

e, viste le altre ipotesi ed applicando in conseguenza i teoremi delle probabilità totali e composte, la probabilità di avere x eventi in un intervallo di tempo lungo $t+\mathrm {d} t$ è data, a meno di infinitesimi di ordine superiore, da

$P(x;t+\mathrm {d} t)$	$=P(x-1;t)\cdot P(1;\mathrm {d} t)+P(x;t)\cdot P(0;\mathrm {d} t)$
	$=P(x-1;t)\,\lambda \,\mathrm {d} t+P(x;t)\,(1-\lambda \,\mathrm {d} t)$

cioè

${\frac {P(x;t+\mathrm {d} t)-P(x;t)}{\mathrm {d} t}}\;\equiv \;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,P(x;t)=-\lambda \,P(x;t)+\lambda \,P(x-1;t)$.

Ora, quando $x=0$, essendo chiaramente nulla la probabilità di avere un numero negativo di eventi E in un tempo qualsiasi, risulta in particolare

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,P(0;t)=-\lambda \,P(0;t)$

da cui

$P(0;t)=e^{-\lambda t}$

(la costante di integrazione si determina imponendo che $P(0;0)=1$). Da questa relazione si può ricavare $P(1;t)$ e, con una serie di integrazioni successive, $P(x;t)$: risulta

$P(x;t)={\frac {(\lambda t)^{x}}{x!}}\,e^{-\lambda t}$.

(8.13)

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di tempo per una sostanza radioattiva come quello di una variabile casuale che segue la distribuzione di Poisson), gli stessi ragionamenti naturalmente si applicano anche a fenomeni fisici riferiti ad intervalli di differente natura, per esempio di spazio.

Così anche il numero di urti per unità di lunghezza delle molecole dei gas segue la distribuzione di Poisson (se si ammette che la probabilità di un urto nel percorrere un intervallo infinitesimo di spazio sia proporzionale alla sua lunghezza, ed analogamente per le altre ipotesi).