8.5 - La distribuzione di Poisson 127
data da
f
2
(
t
;
λ
)
{\displaystyle f_{2}(t;\lambda )}
=
∫
0
t
f
1
(
x
;
λ
)
f
1
(
t
−
x
;
λ
)
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{t}f_{1}(x;\lambda )\,f_{1}(t-x;\lambda )\,\mathrm {d} x}
=
λ
2
∫
0
t
e
−
λ
x
e
−
λ
(
t
−
x
)
d
x
{\displaystyle =\lambda ^{2}\int _{0}^{t}e^{-\lambda x}\,e^{-\lambda (t-x)}\,\mathrm {d} x}
=
λ
2
e
−
λ
t
∫
0
t
d
x
{\displaystyle =\lambda ^{2}\,e^{-\lambda t}\int _{0}^{t}\!\mathrm {d} x}
=
λ
2
t
e
−
λ
t
{\displaystyle =\lambda ^{2}\,t\,e^{-\lambda t}}
si è infatti supposto che il primo dei due eventi si sia
presentato dopo un tempo x (con
0
<
x
<
t
{\displaystyle 0<x<t}
x . Allo stesso modo
f
3
(
t
;
λ
)
{\displaystyle f_{3}(t;\lambda )}
=
∫
0
t
f
2
(
x
;
λ
)
f
1
(
t
−
x
;
λ
)
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{t}f_{2}(x;\lambda )\,f_{1}(t-x;\lambda )\,\mathrm {d} x}
=
λ
3
∫
0
t
x
e
−
λ
x
e
−
λ
(
t
−
x
)
d
x
{\displaystyle =\lambda ^{3}\int _{0}^{t}x\,e^{-\lambda x}\,e^{-\lambda (t-x)}\mathrm {d} x}
=
λ
3
e
−
λ
t
∫
0
t
x
d
x
{\displaystyle =\lambda ^{3}\,e^{-\lambda t}\int _{0}^{t}x\,\mathrm {d} x}
=
t
2
2
λ
3
e
−
λ
t
{\displaystyle ={\frac {t^{2}}{2}}\,\lambda ^{3}\,e^{-\lambda t}}
la formula generale (appunto la funzione di frequenza di Erlang ) è la
f
n
(
t
;
λ
)
=
t
n
−
1
(
n
−
1
)
!
λ
n
e
−
λ
t
{\displaystyle f_{n}(t;\lambda )={\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\,\lambda ^{n}\,e^{-\lambda t}}
con speranza matematica
E
(
t
)
=
n
λ
{\displaystyle E(t)={\frac {n}{\lambda }}}
e varianza
Var
(
t
)
=
n
λ
2
{\displaystyle {\text{Var}}(t)={\frac {n}{\lambda ^{2}}}}
