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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

maggiore di $t_{0}$. Sfruttando la (3.3), abbiamo:

$\Pr(t>t_{0}+\Delta t\,|\,t>t_{0})$	$={\frac {\Pr(t>t_{0}+\Delta t)}{\Pr(t>t_{0})}}$
	$={\frac {\int _{t_{0}+\Delta t}^{+\infty }e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}{\int _{t_{0}}^{+\infty }e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}}$
	$={\frac {\left[-e^{-\lambda t}\right]_{t_{0}+\Delta t}^{+\infty }}{\left[-e^{-\lambda t}\right]_{t_{0}}^{+\infty }}}$
	$={\frac {e^{-\lambda (t_{0}+\Delta t)}}{e^{-\lambda t_{0}}}}$
	$=e^{-\lambda \,\Delta t}$
	$\equiv \Pr \left(t>\Delta t\right)$.

In conclusione, la distribuzione esponenziale (ovvero la cadenza temporale di eventi casuali che seguono la statistica di Poisson) non ricorda la storia precedente: il presentarsi o meno di uno di tali eventi in un tempo $\Delta t$ non dipende in alcun modo da quello che è accaduto nell’arbitrario intervallo di tempo $t_{0}$ precedente; così come ci dovevamo aspettare, vista l’ipotesi numero 2 formulata a pagina 117.

8.5.4 La distribuzione di Erlang

La funzione di frequenza esponenziale (8.19) si può considerare come un caso particolare di un’altra funzione di frequenza, detta di Erlang¹. Supponiamo di voler trovare la densità di probabilità $f_{n}(t;\lambda )$ dell’evento casuale consistente nel presentarsi, dopo un tempo t, dell’n-esimo di una serie di altri eventi che seguano la statistica di Poisson con costante di tempo $\lambda$; la (8.19) è ovviamente la prima di esse, $f_{1}(t;\lambda )=\lambda \,e^{-\lambda t}$.

Il secondo evento si manifesta dopo un tempo t con densità di probabilità

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1. Agner Krarup Erlang fu un matematico danese vissuto dal 1878 al 1929; si occupò di analisi e di fisica oltre che di statistica. Dette notevoli contributi alla tabulazione di varie funzioni, ed applicò in particolare la statistica a numerosi problemi relativi al traffico telefonico.