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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

di urti per unità di lunghezza era $229/4=57.25$, mentre la traccia osservata ne aveva invece $\lambda =110/4=27.5$; la probabilità di ottenere, per motivi puramente casuali, una fluttuazione almeno pari a quella osservata doveva essere quindi calcolata come probabilità di avere meno di 28 eventi da una distribuzione di Poisson con valore medio 57.25, che vale

$\Pr(n\leq 110)\;=\;\sum _{k=0}^{27}{\frac {57.25^{k}}{k!}}\,e^{-57.25}\;\approx \;6.7\times 10^{-6}$

ed è quindi assai maggiore di quanto venisse ipotizzato all’inizio dai due autori (pur mantenendosi più di 33 volte superiore alla frequenza osservata).

L’analisi del fenomeno è però ancora più complessa¹: il numero u di urti elementari per unità di lunghezza segue la distribuzione di Poisson con valore medio $\lambda =57.25$, ed ogni urto genera un numero di gocce che non è costante, ma segue anch’esso la distribuzione di Poisson con valore medio $\nu =4$; quindi il numero complessivo di gocce segue una legge di distribuzione che è quella composta di Poisson.

La probabilità di osservare k gocce per unità di lunghezza è quindi

$\Pr(k)\;=\;\sum _{u=0}^{\infty }\left[{\frac {(u\nu )^{k}}{k!}}\,e^{-u\nu }\cdot {\frac {\lambda ^{u}}{u!}}e^{-\lambda }\right]$,

e la probabilità cercata vale

$\Pr(k\leq 110)\;=\;\sum _{k=0}^{110}\Pr(k)\;\approx \;4.7\times 10^{-5}$

(ben compatibile quindi con quanto osservato).

8.5.7 Applicazione: segnale e fondo

Supponiamo di osservare sperimentalmente un processo fisico, per il quale il numero di eventi s che potrebbero presentarsi in un intervallo temporale prefissato (eventi di segnale) segua una distribuzione di Poisson con valore medio S, e che indicheremo col simbolo $P(s;S)$;

$\Pr(s)\;=\;P(s;S)\;=\;{\frac {S^{s}}{s!}}\,e^{-S}$:

in generale $S$ è ignoto, e ci si propone appunto di determinarlo dall’esperimento. Questo problema verrà poi trattato anche nel paragrafo (11.2.1) a

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1. Eadie, Drijard, James, Roos e Sadoulet: Statistical Methods in Experimental Physics; North-Holland Publishing Co. (1971), pag. 53.