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11.2 - La stima di massima verosimiglianza

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sia ottenuto un certo insieme di valori misurati; sfruttando la seconda delle proprietà su elencate, la densità di probabilità di $\theta$ deve anche essere (asintoticamente) data da

${\mathcal {L}}(\theta )={\frac {1}{\sigma _{\theta }\,{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\theta -{\widehat {\theta }}}{\sigma _{\theta }}}\right)^{2}}$

quindi, nell’intorno di ${\widehat {\theta }}$, deve essere

$\ln {\mathcal {L}}=-\ln \left(\sigma _{\theta }\,{\sqrt {2\pi }}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\theta -{\widehat {\theta }}}{\sigma _{\theta }}}\right)^{2}$

e, derivando due volte rispetto al parametro,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}(\ln {\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{{\sigma _{\theta }}^{2}}}$

ed infine si giunge alla

${\text{Var}}({\widehat {\theta }})\;\equiv \;{\sigma _{\theta }}^{2}=-{\frac {1}{\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}(\ln {\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}\right|_{\theta ={\widehat {\theta }}}}}$

(11.5)

frequentemente usata per il calcolo dell’errore della stima di massima verosimiglianza.

11.2.1 Un esempio di stima sufficiente

Supponiamo di avere un campione di $N$ determinazioni indipendenti $x_{k}$ di una variabile che segua la distribuzione di Poisson; le probabilità dei differenti valori sono date dalla (8.14), e dipendono da un unico parametro: il valore medio della distribuzione, $\alpha$. La funzione di verosimiglianza è la

$\Pr(x_{1},\ldots ,x_{N};\alpha )$	$={\frac {\alpha ^{x_{1}}}{x_{1}!}}\,e^{-\alpha }\cdot {\frac {\alpha ^{x_{2}}}{x_{2}!}}\,e^{-\alpha }\cdots {\frac {\alpha ^{x_{N}}}{x_{N}!}}\,e^{-\alpha }$
	$={\frac {\alpha ^{\sum _{k}x_{k}}\cdot e^{-N\alpha }}{x_{1}!\,x_{2}!\cdots x_{N}!}}\cdot {\frac {(N{\bar {x}})!}{(N{\bar {x}})!}}$
	$={\frac {\alpha ^{N{\bar {x}}}}{(N{\bar {x}})!}}\,e^{-N\alpha }\cdot {\frac {(N{\bar {x}})!}{x_{1}!\,x_{2}!\cdots x_{N}!}}\cdot {\frac {N^{N{\bar {x}}}}{N^{N{\bar {x}}}}}$
	$=\left\{{\frac {(N\alpha )^{N{\bar {x}}}}{(N{\bar {x}})!}}\,e^{-N\alpha }\right\}{\Biggl \{}{\frac {(N{\bar {x}})!}{x_{1}!\,x_{2}!\cdots x_{N}!}}\,{\frac {1}{N^{N{\bar {x}}}}}{\Biggr \}}$	(11.6)