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Capitolo 11 - Stime di parametri

Nei passaggi, per due volte si è moltiplicato e diviso per una stessa quantità non nulla: prima per $(N\overline{x})!$ e poi per $N^{N\overline{x}}$.

La stima di massima verosimiglianza si trova annullando la derivata della (11.6); che, a meno di un fattore costante, è della forma

$f(\alpha )={\alpha }^{N\overline{x}}{e}^{-N\alpha }$

per cui

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\alpha }=N\overline{x}{\alpha }^{N\overline{x}-1}{e}^{-N\alpha }-N{\alpha }^{N\overline{x}}{e}^{-N\alpha }=N{\alpha }^{N\overline{x}-1}{e}^{-N\alpha }(\overline{x}-\alpha )$

e quindi la stima cercata è

$\hat{\alpha }=\overline{x}$

Il primo termine dell’espressione finale (11.6) per la funzione di verosimiglianza è la probabilità $Pr(S)$ che la variabile casuale

$S=\sum _{k=1}^N{x}_k=N\overline{x}$

abbia un determinato valore: $Pr(S)$ infatti, come già sappiamo dal paragrafo (8.5), segue la distribuzione di Poisson con valore medio $N\alpha$. Notiamo anche che, avendo $N$ un valore costante noto a priori, $Pr(S)$ coincide con $Pr(\overline{x})$: il secondo termine deve quindi essere la probabilità che i dati osservati valgano $x_1,x_2,\dots ,x_N$ condizionata dal fatto che la loro somma vale $N\overline{x}$; ma, non dipendendo questo termine da $\alpha$, tale probabilità è la stessa qualunque sia il parametro.

Qualunque sia $\overline{x}$, una volta noto il suo valore le $x_k$ sono distribuite allo stesso modo: $\overline{x}$ riassume insomma tutta l’informazione contenuta nei dati, ed è quindi per definizione una stima sufficiente del parametro. In effetti, se la probabilità dei valori $x_k$ una volta nota $\overline{x}$ non dipende dal parametro, questo implica che qualunque funzione dei dati ha probabilità (condizionata) che gode della stessa proprietà. Citiamo senza dimostrarlo, in proposito, il seguente

Teorema: $\overline{\theta }$ è una stima sufficiente di $\theta$ se e solo se la funzione di verosimiglianza è fattorizzabile nella forma

$ℒ(x_1,x_2,\dots ,x_N;\theta )=f(\overline{\theta },\theta )\cdot \varphi (x_1,x_2,\dots ,x_N)$