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Capitolo 11 - Stime di parametri

varianze delle stime imparziali di una qualsiasi grandezza dipendente dal parametro $\theta$; non solo, ma che, se una stima di varianza minima esiste, essa rende massima la funzione ai verosimiglianza.

Più in dettaglio: nell’ipotesi che la densità di probabilità $f(x;\theta )$ sia una funzione definita in una regione dell’asse x avente estremi indipendenti dal parametro $\theta$; che esista ovunque la derivata rispetto a $\theta$ di $\ln {f(x;\theta )}$; e, infine, che esista finito il valore medio del quadrato di questa derivata

$E\left\{\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln {(f;\theta )}\right]^{2}\right\}={\frac {1}{N}}\cdot E\left\{\left[{\frac {\partial (\ln {\mathcal {L}})}{\partial \theta }}\right]^{2}\right\}$

il teorema di Cramér-Rao afferma che una qualsiasi stima imparziale ${\bar {\theta }}$ di $\theta$ ha una varianza che non può essere inferiore ad un valore (limite di Cramér-Rao) dato dalla

${\text{Var}}({\bar {\theta }})\geq {\frac {1}{N\cdot E\left\{\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(x;\theta )\right]^{2}\right\}}}$.

(11.3)

Inoltre questo estremo inferiore viene raggiunto, e vale il segno di uguaglianza nella (11.3), se e solo se esiste una funzione $R(\theta )$ per la quale risulti

${\frac {\partial (\ln {\mathcal {L}})}{\partial \theta }}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(x_{i};\theta )={\frac {{\bar {\theta }}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})-\theta }{R(\theta )}}$

(11.4)

e, in tal caso, la stima di minima varianza rende anche massima la funzione di verosimiglianza.

La condizione (11.4) è assai restrittiva, potendosi tra l’altro dimostrare che essa implica che la densità di probabilità $f(x;\theta )$ deve essere una funzione di tipo esponenziale: nel caso generale non è quindi affatto certo che una stima di varianza minima esista, essendo questo subordinato alla validità della (11.4).

In ogni caso la stima di massima verosimiglianza deve, come prima detto, tendere asintoticamente a questo comportamento al crescere di N; però nulla si può dire sulla rapidità di tale convergenza. Così, per un numero di misure finito, non c’è alcuna garanzia che la funzione di verosimiglianza abbia un solo massimo; e, se essa ne ammette più d’uno, non esiste modo di sapere quale di essi corrisponde (asintoticamente) alla stima di minima varianza, né esiste modo di sapere quale di questi massimi rappresenti la stima corretta del valore vero.

Come abbiamo detto, la funzione di verosimiglianza (11.1) può essere interpretata come densità di probabilità del parametro una volta che si