8.5 - La distribuzione di Poisson
133
tà
(
y
−
μ
−
k
σ
2
)
2
2
σ
2
−
k
μ
−
1
2
k
2
σ
2
{\displaystyle {\frac {\left(y-\mu -k\sigma ^{2}\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-k\mu -{\frac {1}{2}}k^{2}\sigma ^{2}}
=
1
2
σ
2
(
y
2
+
μ
2
+
k
2
σ
4
−
2
μ
y
{\displaystyle ={\frac {1}{2\sigma ^{2}}}{\Bigl (}y^{2}+\mu ^{2}+k^{2}\sigma ^{4}-2\mu y}
−
2
k
σ
2
y
+
2
k
μ
σ
2
−
2
k
μ
σ
2
−
k
2
σ
4
)
{\displaystyle -2k\sigma ^{2}y+2k\mu \sigma ^{2}-2k\mu \sigma ^{2}-k^{2}\sigma ^{4}{\Bigr )}}
=
1
2
σ
2
[
(
y
2
−
2
μ
y
+
μ
2
)
−
2
k
σ
2
y
]
{\displaystyle ={\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left[\left(y^{2}-2\mu y+\mu ^{2}\right)-2k\sigma ^{2}y\right]}
=
(
y
−
μ
)
2
2
σ
2
−
k
y
{\displaystyle ={\frac {\left(y-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-ky}
se ne possono facilmente calcolare i momenti rispetto all’origine, che valgono
λ
k
{\displaystyle \lambda _{k}}
=
∫
0
+
∞
x
k
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{+\infty }\!x^{k}\,f(x)\,\mathrm {d} x}
=
∫
−
∞
+
∞
e
k
y
g
(
y
)
d
y
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{ky}\,g(y)\,\mathrm {d} y}
=
∫
−
∞
+
∞
1
σ
2
π
e
−
[
(
y
−
μ
)
2
2
σ
2
−
k
y
]
d
y
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{+\infty }\!{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-\left[{\frac {\left(y-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-ky\right]}\,\mathrm {d} y}
=
e
(
k
μ
+
1
2
k
2
σ
2
)
∫
−
∞
+
∞
1
σ
2
π
e
−
(
y
−
μ
−
k
σ
2
)
2
2
σ
2
d
y
{\displaystyle =e^{\left(k\mu +{\frac {1}{2}}k^{2}\sigma ^{2}\right)}\int _{-\infty }^{+\infty }\!{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {\left(y-\mu -k\sigma ^{2}\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\mathrm {d} y}
=
e
(
k
μ
+
1
2
k
2
σ
2
)
{\displaystyle =e^{\left(k\mu +{\frac {1}{2}}k^{2}\sigma ^{2}\right)}}
(infatti l’integrale è quello di una distribuzione normale avente
μ
+
k
σ
2
{\displaystyle \mu +k\sigma ^{2}}
come valore medio e
σ
{\displaystyle \sigma }
come varianza — e vale dunque uno).
In particolare
E
(
x
)
≡
λ
1
=
e
(
μ
+
σ
2
2
)
{\displaystyle E(x)\equiv \lambda _{1}=e^{\left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)}}
E
(
x
2
)
≡
λ
2
=
e
(
2
μ
+
2
σ
2
)
{\displaystyle E(x^{2})\equiv \lambda _{2}=e^{\left(2\mu +2\sigma ^{2}\right)}}
Var
(
x
)
=
λ
2
−
λ
1
2
=
e
(
2
μ
+
σ
2
)
(
e
σ
2
−
1
)
{\displaystyle {\text{Var}}(x)=\lambda _{2}-{\lambda _{1}}^{2}\;=\;e^{\left(2\mu +\sigma ^{2}\right)}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)}
Nella figura 8h ci sono i grafici di alcune distribuzioni log-normali corrispondenti a vari valori dei parametri
μ
{\displaystyle \mu }
e
σ
{\displaystyle \sigma }
della funzione normale di partenza (non della funzione di frequenza esaminata); per finire notiamo che, analogamente a quanto ricavato nel teorema di pagina 103 per quanto attiene alle somme, si può dimostrare che il prodotto di variabili casuali log-normali ed indipendenti debba seguire una distribuzione log-normale .