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9.2 - Proprietà della legge normale

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Il valore medio del modulo degli scarti è quella grandezza che abbiamo definito come “errore medio”: qui abbiamo ricavato la relazione tra l’errore medio di misure affette solo da errori casuali ed il modulo di precisione della misura h.

Il rapporto invece tra l’errore quadratico medio ed h si trova calcolando il valore medio del quadrato degli scarti:

$E{\bigl (}z^{2}{\bigr )}$	$={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!z^{2}\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {1}{h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!t^{2}\,e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} et$
	$=-\,{\frac {1}{2h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!t\cdot \mathrm {d} {\bigl (}e^{-t^{2}}{\bigr )}$
	$=-\,{\frac {1}{2h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\,\left\{\left[te^{-t^{2}}\right]_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t\right\}$
	$={\frac {1}{2h^{2}}}$.

Per giungere al risultato, per prima cosa si è effettuata la sostituzione di variabile $t=hz$; poi si è integrato per parti; ed infine si è tenuto conto del fatto che

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}$

come si può ricavare dalla condizione di normalizzazione della funzione di Gauss per il particolare valore $h=1$.

Concludendo:

• Per misure affette da errori distribuiti secondo la legge normale, il rapporto tra l'errore quadratico medio $\sigma$ e l’errore medio a vale

${\frac {\sigma }{a}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}=1.2533\ldots ~~$.

• Per misure affette da errori distribuiti secondo la legge normale, l’errore quadratico medio ed il modulo di precisione h sono legati dalla

$\sigma ={\frac {1}{h{\sqrt {2}}}}$.

• L’errore medio ed il modulo di precisione sono invece legati dalla

$a={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}$.