Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/162

146

Capitolo 9 - La legge di Gauss

Sostituendo nella (9.1) il valore di h in funzione di $\sigma$, la legge di Gauss si può quindi anche scrivere nella forma equivalente

$f(z)={\dfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

(9.2)

9.3 Lo scarto normalizzato

Introduciamo in luogo dello scarto z il risultato della misura x; questo è legato a z dalla $z=x-x^{*}$ (relazione che implica anche $\mathrm {d} z=\mathrm {d} x$). In luogo del modulo di precisione h usiamo poi l’errore quadratico medio $\sigma$; la funzione di Gauss (9.2) si può allora scrivere nella forma

$f(x)={\dfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{\textstyle -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-x^{*}}{\sigma }}\right)^{2}}$

Definiamo ora una nuova variabile t, legata alla x dalla relazione

$t={\frac {x-x^{*}}{\sigma }}$

$\Longrightarrow$

$\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} x}{\sigma }}$.

Essa prende il nome di scarto normalizzato della x; vogliamo trovare la funzione di frequenza $\varphi (t)$ della t nell’ipotesi che la x abbia distribuzione normale. Siano $x_{1}$ ed $x_{2}$ due qualunque valori della variabile x (con $x_{1}<x_{2}$); sappiamo che

$\Pr {\Bigl (}x\in \left[x_{1},x_{2}\right]{\Bigr )}\;=\;\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!f(x)\,\mathrm {d} x\;=\;{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!e^{\textstyle -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-x^{*}}{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} x$.

(9.3)

Siano poi $t_{1}$ e $t_{2}$ i valori per la t che corrispondono a $x_{1}$ e $x_{2}$; sarà

$\Pr {\Bigl (}t\in \left[t_{1},t_{2}\right]{\Bigr )}\;=\;\int _{t_{1}}^{t_{2}}\!\varphi (t)\,\mathrm {d} t$.

(9.4)

Quando la x è compresa nell’intervallo $\left[x_{1},x_{2}\right]$, allora (e soltanto allora) la t è compresa nell’intervallo $\left[t_{1},t_{2}\right]$; pertanto la probabilità che x sia compresa in $\left[x_{1},x_{2}\right]$ deve essere identicamente uguale alla probabilità che t sia compresa in $\left[t_{1},t_{2}\right]$.

Eseguiamo sull’espressione (9.3) della probabilità per x un cambiamento di variabile, sostituendovi la t:

$\Pr {\Bigl (}x\in \left[x_{1},x_{2}\right]{\Bigr )}\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\!e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t$.

(9.5)