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Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/162

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146 Capitolo 9 - La legge di Gauss


Sostituendo nella (9.1) il valore di h in funzione di , la legge di Gauss si può quindi anche scrivere nella forma equivalente

(9.2)

9.3 Lo scarto normalizzato

Introduciamo in luogo dello scarto z il risultato della misura x; questo è legato a z dalla (relazione che implica anche ). In luogo del modulo di precisione h usiamo poi l’errore quadratico medio ; la funzione di Gauss (9.2) si può allora scrivere nella forma

Definiamo ora una nuova variabile t, legata alla x dalla relazione

.

Essa prende il nome di scarto normalizzato della x; vogliamo trovare la funzione di frequenza della t nell’ipotesi che la x abbia distribuzione normale. Siano ed due qualunque valori della variabile x (con ); sappiamo che

. (9.3)

Siano poi e i valori per la t che corrispondono a e ; sarà

. (9.4)

Quando la x è compresa nell’intervallo , allora (e soltanto allora) la t è compresa nell’intervallo ; pertanto la probabilità che x sia compresa in deve essere identicamente uguale alla probabilità che t sia compresa in .

Eseguiamo sull’espressione (9.3) della probabilità per x un cambiamento di variabile, sostituendovi la t:

. (9.5)