Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/168

152

Capitolo 9 - La legge di Gauss

Facciamo un esempio pratico: supponiamo di voler misurare la dimensione del lato di un quaderno (di valore vero 20 cm) con un regolo graduato, e di commettere un errore di misura $\sigma =1~$mm; la probabilità di trovare un risultato in un intervallo ampio 1 mm appena alla sinistra dello zero secondo la legge normale vale

$p\;\simeq \;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\,200^{2}}\;\approx \;0.4\,e^{-2\times 10^{4}}$;

quindi $\ln(p)\sim -2\times 10^{4}$, e $\log _{10}(p)=\ln(p)\cdot \log _{10}(e)\sim -10^{4}$, mentre dovrebbe essere rigorosamente $p\equiv 0$.

Per valutare le reali implicazioni di un valore di p come quello che stiamo considerando, attualmente il numero di atomi presenti nell’universo si stima essere dell’ordine di $10^{79}$; mentre l’età dell’universo stesso si stima in circa $10^{10}$ anni, ovvero dell’ordine di $10^{18}$ secondi; se pensiamo ad un gruppo di misuratori in numero pari al numero di atomi nell’universo, ed ognuno dei quali esegua una misura al secondo, dovrebbe passare un tempo pari circa a 7 volte l’età dell’universo stesso per ottenere un valore illegale qualora le misure seguissero veramente la legge di Gauss: quindi la differenza tra la funzione di distribuzione reale e quella ipotizzata è effettivamente trascurabile.

9.6 Esame dei dati

Talvolta nella misura si compiono errori non classificabili né come casuali né come sistematici: ad esempio, dopo aver misurato un angolo di un triangolo con un goniometro, si può riportare come valore un numero diverso scambiando tra di loro due cifre contigue. La conseguenza sarà quella di ottenere per il risultato finale della misura (la somma degli angoli interni di un triangolo) un dato molto differente dagli altri, che si impone quindi alla nostra attenzione come sospetto.

Nasce quindi il desiderio di avere un criterio preciso in base al quale decidere se un dato possa o meno considerarsi sospetto, ed essere in conseguenza eliminato.

Normalmente la procedura consigliata è la seguente: dopo aver calcolato media e scarto quadratico medio, si eliminano dal campione i dati che differiscano da ${\bar {x}}$ per più di tre volte s. Sappiamo infatti che valori che si trovino nella regione oltre $3\sigma$ hanno probabilità molto bassa di presentarsi (del tre per mille circa); bisogna comunque osservare che questo modo di procedere è giustificato solo in presenza di un numero piccolo di dati.