Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/172

156

Capitolo 9 - La legge di Gauss

ricordando la (9.7). Da qui, introducendo l’espressione (9.8) prima ottenuta per lo sviluppo di $\phi _{z}(t)$,

$\phi _{y}(t)$	$=\left[1-{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{N\sigma ^{2}}}\,\sigma ^{2}+{\mathcal {O}}\left({\frac {t^{3}}{N^{\frac {3}{2}}}}\right)\right]^{N}$
	$=\left[1-{\frac {t^{2}}{2N}}+{\mathcal {O}}\left(N^{-{\frac {3}{2}}}\right)\right]^{N}$

e quando N tende all’infinito

$\lim _{N\to \infty }\phi _{y}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$

sfruttando il limite notevole

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$

(9.9)

(qui, appunto, $k=-t^{2}/2$). Insomma la funzione caratteristica della y tende a quella di una distribuzione normale di media zero e varianza 1: quindi la S tende asintoticamente ad una distribuzione normale di media $N\mu$ e varianza $N\sigma ^{2}$; e ${\bar {x}}=S/N$ tende asintoticamente ad una distribuzione normale di media $\mu$ e varianza $\sigma ^{2}/N$.

Il teorema è di fondamentale importanza perché non fa alcuna ipotesi sulla distribuzione delle variabili che compongono il campione (all’infuori del requisito dell’esistenza di media e varianza). Con riguardo alle misure ripetute di una stessa grandezza fisica esso ci dice che, se anche la loro distribuzione non segue la legge di Gauss, purché se ne abbia un numero sufficiente il nostro risultato finale (la media aritmetica) tuttavia la segue ugualmente in modo approssimato: così che l’errore della media conserva il consueto significato statistico (di semiampiezza dell’intervallo, centrato su ${\bar {x}}$, che contiene il valore vero con probabilità costante prefissata del 68%) anche se questo non è verificato per le singole misure.

Da notare che il teorema del limite centrale implica una convergenza asintoticamente normale del valore medio del campione al valore medio della popolazione delle misure; per attribuire a quest’ultimo, come si è fatto nell’ultima frase, il significato di valore vero della grandezza misurata, si sottintende che le misure abbiano distribuzione, ancorché di forma non specificata, simmetrica rispetto al valore vero $x^{*}$; insomma che errori per difetto e per eccesso siano ugualmente probabili.

Incidentalmente, notiamo qui come il prodotto di molte variabili casuali indipendenti debba avere un comportamento, indipendentemente dal tipo di distribuzione, asintoticamente tendente a quello di una distribuzione log-normale.