indipendenti1. La formula di propagazione è invece esatta nel caso particolare (esaminato nel paragrafo precedente) di una combinazione lineare di variabili casuali indipendenti, caso questo nel quale tutte le derivate parziali di ordine superiore al primo sono identicamente nulle.
10.4 Errore dei prodotti di potenze
Applichiamo ora la formula (10.2) di propagazione degli errori a quella particolare classe di funzioni costituita dai prodotti di potenze delle variabili indipendenti: cioè alle funzioni del tipo
.
Calcoliamo innanzi tutto le derivate parziali di F; risulta
(ammettendo che nessuna delle variabili sia nulla; questo implica che anche la F abbia valore diverso da zero). Introducendo questi valori delle derivate nella formula di propagazione degli errori, avremo
ed in definitiva
;
relazione che permette di ricavare con semplici calcoli l’errore relativo di F dagli errori relativi commessi nella misura delle variabili indipendenti. Per quanto detto in precedenza, questa relazione è solo una prima approssimazione; e possiamo ritenerla valida se le variabili indipendenti sono misurate con errori piccoli.
↑Una formula di propagazione degli errori per variabili qualsiasi (che ossia non ne presupponga l’indipendenza statistica) verrà ricavata più avanti, nel paragrafo C.3.
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcccl}{\dfrac {\partial F}{\partial x}}&=&K\cdot \alpha \,x^{\alpha -1}\cdot y^{\beta }\cdot z^{\gamma }\cdots &=&\alpha \,{\dfrac {F}{x}}\\[3ex]{\dfrac {\partial F}{\partial y}}&=&K\cdot x^{\alpha }\cdot \beta \,y^{\beta -1}\cdot z^{\gamma }\cdots &=&\beta \,{\dfrac {F}{y}}\\[3ex]\cdots &&&&\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca715fb74909f966e4f4a8113747e20b07cc32da)
