Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/200

184

Capitolo 11 - Stime di parametri

Così come abbiamo dimostrato che, al fine di correggere questa sottostima (in media) per le misure ripetute, occorre dividere la somma dei quadrati degli scarti per $N-1$ invece che per $N$, si potrebbe analogamente dimostrare che una corretta stima dell’errore dei punti misurati si ha, in media, dividendo l’analoga somma per $N-2$; in definitiva, che la corretta stima di $\sigma _{y}$ è data dalla formula

${\sigma _{y}}^{2}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}{\Bigl [}\left(a+bx_{i}\right)-y_{i}{\Bigr ]}^{2}}{N-2}}$.

In essa a numeratore compare la somma dei quadrati dei residui, cioè delle “distanze” dei punti misurati $(x_{i},y_{i})$ dalla retta interpolante di equazione $a+bx$ calcolate secondo la direzione parallela all’asse delle ordinate. Questa formula¹ permette una corretta stima dell’errore dei dati interpolati, qualora sia impossibile (o scomodo) determinarli per altra via; l’errore è stimato dai residui dei dati sperimentali, ed è quindi scientificamente affidabile.

Il fatto che la corretta stima dell’errore si ottenga dividendo per $N-2$ invece che per $N$ deve essere messo in relazione con il fatto che gli scarti, invece che rispetto al valore vero, sono calcolati rispetto ad un valore stimato che dipende da due parametri, che sono a loro volta stati preventivamente determinati sulla base dei dati sperimentali: cioè i due coefficienti $a$ e $b$ dell’equazione della retta.

Nell’analogo caso della stima dell’errore quadratico medio di una variabile casuale unidimensionale, gli scarti erano calcolati rispetto ad un valore che, unica grandezza necessaria, veniva preventivamente determinato sulla base delle misure: appunto la media aritmetica.

In generale, disponendo di $N$ dati sperimentali dai quali possiamo determinare un valore dell’errore quadratico medio che dipende da $M$ parametri che debbano essere preventivamente derivati dai dati stessi, la modifica da apportare alla formula per ottenere una corretta valutazione dell’errore della popolazione consiste nel dividere la somma dei quadrati degli scarti per un fattore $N-M$.

11.4.3 Interpolazione con una retta per l'origine

Se conosciamo altri vincoli cui debba soddisfare la legge che mette in relazione i valori delle variabili misurate $x$ e $y$, possiamo imporre che la retta corrispondente appartenga ad un particolare sottoinsieme delle rette del piano; ad esempio, un caso che si può presentare è che la retta sia vincolata

---

1. Una formula equivalente (ma più semplice) per il calcolo di $\sigma _{y}$ si può trovare nell’equazione (C.8) alla pagina 264.