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11.4 - Interpolazione dei dati con una curva

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a passare per una posizione particolare, che supporremo qui essere l’origine degli assi coordinati.

Una generica retta per l’origine ha equazione $y=mx$; ammesso ancora che gli errori commessi riguardino soltanto la misura della $y$ e non quella della $x$, che tutti i vari $y_{i}$ abbiano errori distribuiti secondo la legge normale e tra loro uguali, e che le misure siano tra loro indipendenti, il problema dell’interpolazione lineare si riduce a trovare tra le infinite rette passanti per l’origine quella che rende massima la funzione di verosimiglianza

${\mathcal {L}}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\ldots ,x_{N},y_{N};m)\;=\;\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{y}\,{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {mx_{i}-y_{i}}{\sigma _{y}}}\right)^{2}}$.

Passando al logaritmo naturale di ${\mathcal {L}}$, è facile vedere che la soluzione ricercata è sempre quella che rende minima la somma dei quadrati dei residui dai punti misurati: che cioè minimizza la funzione

$f(m)=\sum _{i=1}^{N}\left(mx_{i}-y_{i}\right)^{2}$.

La derivata prima di $f$ vale

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} m}}=2\sum _{i=1}^{N}\left(mx_{i}-y_{i}\right)x_{i}\;=\;2\left(m\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}\;-\;\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}\right)$

e, imponendo che essa sia nulla, l’estremante si ha per

$m={\frac {\sum _{i}x_{i}y_{i}}{\sum _{i}{x_{i}}^{2}}}$

e corrisponde in effetti ad un minimo. La legge di propagazione degli errori è esatta anche in questo caso, perché $m$ è una combinazione lineare delle variabili affette da errore (le $y_{i}$); il coefficiente di $y_{i}$ nella combinazione vale

${\frac {x_{i}}{\sum _{k}{x_{k}}^{2}}}$

e quindi

${\sigma _{m}}^{2}\;=\;\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{\sum _{k}{x_{k}}^{2}}}\right)^{2}{\sigma _{y}}^{2}\;=\;{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\left(\sum _{k}{x_{k}}^{2}\right)^{2}}}\,\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}\;=\;{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\sum _{k}{x_{k}}^{2}}}$

e la formula per il calcolo degli errori a posteriori diventa

${\sigma _{y}}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(mx_{i}-y_{i}\right)^{2}}{N-1}}$

visto che il parametro da cui l’errore quadratico medio dipende e che deve essere stimato sulla base dei dati è uno soltanto: $m$.