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11.4 - Interpolazione dei dati con una curva

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dai punti, misurate però ortogonalmente alla retta stessa: a prescindere dalla complicazione della soluzione di un sistema di equazioni non lineari, resta il fatto che se $x$ ed $y$ sono due grandezze fisiche diverse, o anche soltanto misurate con strumenti e metodi diversi, i loro errori quadratici medi sono generalmente differenti; mentre la distanza sul piano attribuisce lo stesso peso agli scarti in $x$ ed a quelli in $y$.

Per applicare questo metodo si dovrebbe conoscere, per via indipendente, almeno il rapporto tra $\sigma _{x}$ e $\sigma _{y}$; e rappresentare i valori misurati $(x_{i},y_{i})$ non già sul piano $\{x,y\}$, bensì su quello delle variabili ridotte $\{x/\sigma _{x}\,,\,y/\sigma _{y}\}$.

Per solito nella pratica si preferisce considerare affetta da errore una soltanto delle variabili, ad esempio la $y$, la scelta cadendo generalmente su quella determinata in maniera più indiretta, e che risente perciò degli errori di tutte le altre grandezze misurate direttamente; così, in un diagramma velocità-tempo trascorso o velocità-spazio percorso, si assumerà affetta da errore la sola velocità.

Un eventuale errore sulla $x$ si propagherà attraverso la relazione funzionale anche alla $y$, e, se l’errore quadratico medio $\sigma _{y}$ è stimato dai dati sperimentali, esso congloberà anche l’indeterminazione dovuta alla $x$.

Per meglio chiarire il concetto, consideriamo la legge $v=v(t)=v_{0}+gt$ che descrive la caduta di un grave, e pensiamo di misurare la sua velocità in un certo istante: nell’ipotesi originale $t$ sarebbe determinabile esattamente, ma l’imprecisione nella misura delle velocità ci darebbe valori di $v$ compresi in un intervallo di ampiezza non nulla (dipendente dall’errore quadratico medio $\sigma _{v}$).

Se delle due grandezze, al contrario, fosse la velocità ad essere conoscibile esattamente, l’impossibilità di determinare con precisione l’istante $t$ in cui essa deve essere misurata ci darebbe ugualmente valori di $v$ distribuiti in un intervallo di ampiezza non nulla (legata stavolta a $g\cdot \sigma _{t}$).

Indicando, insomma, con $\sigma _{x}$ e $\sigma _{y}$ gli errori (sempre supposti costanti) di ognuna delle determinazioni (sempre supposte indipendenti) $x_{i}$ e $y_{i}$, la formula dell’errore a posteriori ci permette di ricavare dai dati una ragionevole stima non tanto del solo $\sigma _{y}$ quanto, piuttosto, della combinazione (quadratica) dell’errore intrinseco delle ordinate e di quello intrinseco delle ascisse propagato sulle ordinate:

$\sigma ^{2}\approx {\sigma _{y}}^{2}+\left(b^{*}\sigma _{x}\right)^{2}$

(ove $b^{*}$ è il valore vero della pendenza della retta).