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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

la distribuzione di Student ad $N$ gradi di libertà è a sua volta distribuito con una densità di probabilità data da $F (t^{2}; 1, N)$ .

Per terminare, quando i due parametri $M$ ed $N$ (da cui la funzione di frequenza di Fisher (12.19) dipende) vengono resi arbitrariamente grandi, essa tende ad una distribuzione normale; ma la convergenza è lenta, e l’approssimazione normale alla distribuzione di Fisher si può pensare in pratica usabile quando sia $M$ che $N$ sono superiori a 50.

12.6.1 Confronto tra varianze

Supponiamo di avere a disposizione due campioni di misure, che ipotizziamo provenire da due differenti popolazioni che seguano delle distribuzioni normali.

Siano $M$ ed $N$ le dimensioni di tali campioni, e siano ${σ_{1}}^{2}$ e ${σ_{2}}^{2}$ le varianze delle rispettive popolazioni di provenienza; indichiamo poi con ${s_{1}}^{2}$ ed ${s_{2}}^{2}$ le due stime delle varianze delle popolazioni ricavate dai campioni. Vogliamo ora capire come si può verificare l’ipotesi statistica che le due popolazioni abbiano la stessa varianza, ossia che $σ_{1} = σ_{2}$ .

Ora sappiamo già dalla equazione (12.8) che le due variabili casuali

X = (M - 1) \frac{{s_{1}}^{2}}{{σ_{1}}^{2}}

e

Y = (N - 1) \frac{{s_{2}}^{2}}{{σ_{2}}^{2}}

sono entrambe distribuite come il $χ^{2}$ , con $M - 1$ ed $N - 1$ gradi di libertà rispettivamente; quindi la quantità

$w = \frac{X}{M - 1} \frac{N - 1}{Y} = \frac{{s_{1}}^{2}}{{σ_{1}}^{2}} \frac{{σ_{2}}^{2}}{{s_{2}}^{2}}$

ha densità di probabilità data dalla funzione di Fisher con $M - 1$ ed $N - 1$ gradi di libertà.

Assunta a priori vera l’ipotesi statistica $σ_{1} = σ_{2}$ , la variabile casuale

$w = \frac{{s_{1}}^{2}}{{s_{2}}^{2}}$

ha densità di probabilità data dalla funzione di Fisher prima menzionata, $F (w; M - 1, N - 1)$ ; per cui, fissato un livello di confidenza al di là del quale rigettare l’ipotesi, e ricavato dalle apposite tabelle^[1] il valore $W$ che lascia alla propria sinistra, al di sotto della funzione $F (w; M - 1, N - 1)$ , un’area pari al livello di confidenza prescelto, si può escludere che i due campioni provengano da popolazioni con la stessa varianza se $w > W$ .

↑ Per un livello di confidenza pari a 0.95 o 0.99, e per alcuni valori dei due parametri $M$ ed $N$ , ci si può riferire ancora alle tabelle dell’appendice G; in esse si assume che sia $s_{1} > s_{2}$ , e quindi $w > 1$ .

[1] Per un livello di confidenza pari a 0.95 o 0.99, e per alcuni valori dei due parametri $M$ ed $N$ , ci si può riferire ancora alle tabelle dell’appendice G; in esse si assume che sia $s_{1} > s_{2}$ , e quindi $w > 1$ .

[1]