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13.5 - Applicazione: ipotesi sulle probabilità

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e che, essendo la stima di massima verosimiglianza data da

${\hat{p}}_{i} = \frac{n_{i}}{N}$

il massimo assoluto di $ℒ$ è

$ℒ (\hat{S}) = \prod_{i = 1}^{M} {(\frac{n_{i}}{N})}^{n_{i}} = \frac{1}{N^{N}} \prod_{i = 1}^{M} {n_{i}}^{n_{i}}$ .

Inoltre, nell'unico punto dello spazio dei parametri che corrisponde ad $H_{0}$ ,

$ℒ (\hat{R}) = \prod_{i = 1}^{M} {π_{i}}^{n_{i}}$

per cui

$λ = \frac{ℒ (\hat{R})}{ℒ (\hat{S})} = N^{N} \prod_{i = 1}^{M} {(\frac{π_{i}}{n_{i}})}^{n_{i}}$

dalla quale si può, come sappiamo, derivare una generica regione di rigetto attraverso la consueta $ℛ_{k} \equiv {λ < k}$ .

$- 2 \ln λ = - 2 [N \ln N + \sum_{i = 1}^{M} n_{i} (\ln π_{i} - \ln n_{i})]$

è inoltre asintoticamente distribuita come il $χ^{2}$ a $M - 1$ gradi di libertà (c'è un vincolo: che le $n_{i}$ abbiano somma $N$ ), e questo può servire a scegliere un $k$ opportuno (nota la dimensione del campione) una volta fissata $α$ .

Il criterio di verifica dell'ipotesi dato in precedenza consisteva nel calcolo del valore della variabile casuale

$X = \sum_{i = 1}^{M} \frac{{(n_{i} - N π_{i})}^{2}}{N π_{i}}$

e nel suo successivo confronto con la distribuzione del $χ^{2}$ a $M - 1$ gradi di libertà; lo studio del rapporto delle massime verosimiglianze porta dunque ad un criterio differente e, senza sapere nulla della probabilità di commettere errori di seconda specie, non è possibile dire quale dei due risulti migliore (a parità di significanza).