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Capitolo 13 - La verifica delle ipotesi (II)

13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale

Ancora un esempio: sia una popolazione normale $N (x; μ, σ)$ dalla quale vengano ottenuti $N$ valori indipendenti $x_{i}$ , ma questa volta la varianza $σ$ sia ignota; vogliamo discriminare, sulla base del campione, tra l’ipotesi nulla che il valore medio della popolazione abbia un valore prefissato e l’ipotesi alternativa complementare,

${\begin{matrix} H_{0} \equiv {μ = μ_{0}} \\ H_{a} \equiv {μ \neq μ_{0}} \end{matrix}$

Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è

\ln ℒ (𝒙; μ, σ) = - N \ln σ - \frac{N}{2} \ln (2 π) - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}

(13.10)

ed essendo le stime di massima verosimiglianza date, come avevamo trovato nel paragrafo 11.5, da

\hat{μ} = \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i}

e

{\hat{σ}}^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} {(x_{i} - \hat{μ})}^{2}

ne deriva, sostituendo nella (13.10), che

$\ln ℒ (\hat{S}) = - \frac{N}{2} \ln [\sum_{i = 1}^{N} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}] + \frac{N}{2} \ln N - \frac{N}{2} \ln (2 π) - \frac{N}{2}$ .

D’altra parte, ammessa vera $H_{0}$ , abbiamo che

$\ln ℒ (𝒙 | H_{0}) = - N \ln σ - \frac{N}{2} \ln (2 π) - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{N} {(x_{i} - μ_{0})}^{2}$

{{no rientro}e, derivando rispetto a $σ$ ,

$\frac{d}{d σ} \ln ℒ (𝒙 | H_{0}) = - \frac{N}{σ} + \frac{1}{σ^{3}} \sum_{i = 1}^{N} {(x_{i} - μ_{0})}^{2}$ .

Annullando la derivata prima, si trova che l’unico estremante di $ℒ (𝒙 | H_{0})$ si ha per

$σ_{0} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} {(x_{i} - μ_{0})}^{2}$