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Capitolo 13 - La verifica delle ipotesi (II)
13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale
Ancora un esempio: sia una popolazione normale
N
(
x
;
μ
,
σ
)
{\displaystyle N(x;\mu ,\sigma )}
dalla quale vengano ottenuti
N
{\displaystyle N}
valori indipendenti
x
i
{\displaystyle x_{i}}
, ma questa volta la varianza
σ
{\displaystyle \sigma }
sia ignota ; vogliamo discriminare, sulla base del campione, tra l’ipotesi nulla che il valore medio della popolazione abbia un valore prefissato e l’ipotesi alternativa complementare,
{
H
0
≡
{
μ
=
μ
0
}
H
a
≡
{
μ
≠
μ
0
}
{\displaystyle {\begin{cases}H_{0}\;\equiv \;\left\{\mu =\mu _{0}\right\}\\H_{a}\;\equiv \;\left\{\mu \neq \mu _{0}\right\}\end{cases}}}
Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è
ed essendo le stime di massima verosimiglianza date, come avevamo trovato nel paragrafo 11.5 , da
μ
^
=
x
¯
=
1
N
∑
i
=
1
N
x
i
{\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}
e
σ
^
2
=
1
N
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
μ
^
)
2
{\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}
ne deriva, sostituendo nella (13.10) , che
ln
L
(
S
^
)
=
−
N
2
ln
[
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
x
¯
)
2
]
+
N
2
ln
N
−
N
2
ln
(
2
π
)
−
N
2
{\displaystyle \ln {\mathcal {L}}({\widehat {S}})\;=\;-{\frac {N}{2}}\ln \left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]+{\frac {N}{2}}\,\ln N-{\frac {N}{2}}\,\ln(2\pi )-{\frac {N}{2}}}
.
D’altra parte, ammessa vera
H
0
{\displaystyle H_{0}}
, abbiamo che
ln
L
(
x
|
H
0
)
=
−
N
ln
σ
−
N
2
ln
(
2
π
)
−
1
2
σ
2
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
μ
0
)
2
{\displaystyle \ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})=-N\,\ln \sigma -{\frac {N}{2}}\,\ln(2\pi )-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\,\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}}
{{no rientro}e, derivando rispetto a
σ
{\displaystyle \sigma }
,
d
d
σ
ln
L
(
x
|
H
0
)
=
−
N
σ
+
1
σ
3
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
μ
0
)
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma }}\,\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})=-{\frac {N}{\sigma }}+{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}}
.
Annullando la derivata prima, si trova che l’unico estremante di
L
(
x
|
H
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})}
si ha per
σ
0
=
1
N
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
μ
0
)
2
{\displaystyle \sigma _{0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}}