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244 Appendice A - Cenni di calcolo combinatorio

A.2 Fattoriale di un numero intero

Si definisce come fattoriale di un numero intero positivo , e si indica con il simbolo , il prodotto dei primi numeri interi:

;

per motivi che appariranno chiari più avanti1, si definisce poi il fattoriale di zero come .

A.3 Disposizioni

Se e sono due numeri interi positivi tali che sia , si definisce come numero delle disposizioni di oggetti di classe (che si indica con il simbolo ) il numero dei gruppi distinti di oggetti che è possibile formare a partire dagli originali; definendo come distinti due gruppi se essi differiscono o per qualche elemento o per l’ordine.

Come esempio, le disposizioni di classe 2 che si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto italiano sono le seguenti:

Bracket left 4.png AB AC AD ··· AV AZ
BA BC BD ··· BV BZ
···
ZA ZB ZC ZD ··· ZV

Il valore di si può facilmente trovare sfruttando il lemma fondamentale del calcolo combinatorio: il primo elemento di una disposizione si può infatti scegliere in modi distinti, il secondo in , e così via. Di conseguenza è il prodotto di numeri interi decrescenti a partire da :

(A.1)

(nel caso dell’esempio fatto, le disposizioni sono ; nella tabella in cui sono state elencate vi sono 21 righe di 20 elementi ciascuna).

L’espressione (A.1) è verificata anche se , però purché (come prima detto) si ponga .



  1. La “definizione” non è così arbitraria come può sembrare: in realtà si comincia definendo una certa funzione di variabile complessa che, quando l’argomento è un numero intero positivo, coincide con il suo fattoriale; e per la quale si vede che .