Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/270

254

Appendice B - L'errore della varianza

Se si vuole invece calcolare l’errore da attribuire agli errori quadratici medi, cioè alle quantità $s$ e $\sigma$ radici quadrate delle varianze di cui sopra, non è possibile dare delle formule esatte: la ragione ultima è che il valore medio di $s$ non può essere espresso in forma semplice in termini di grandezze caratteristiche della popolazione.

Per questo motivo è sempre meglio riferirsi ad errori di varianze piuttosto che ad errori di scarti quadratici medi; comunque, in prima approssimazione, l’errore di $\sigma$ si può ricavare da quello su ${\sigma }^2$ usando la formula di propagazione:

$\text{Var}(\sigma )\approx {\left(\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\left({\sigma }^2\right)}{\mathrm{d}\sigma }}\right)}^2\text{Var}\left({\sigma }^2\right)=\frac{1}{4{\sigma }^2}\text{Var}\left({\sigma }^2\right)=\frac{{\sigma }^2}{2(N-1)};$

cioè

${\sigma }_{\sigma }\approx \frac{\sigma }{\sqrt{2(N-1)}}$

(B.1)

(il fatto che questa formula sia approssimata risulta chiaramente se si considera che la relazione tra ${\sigma }^2$ e $\sigma$ è non lineare).

Una conseguenza dell’equazione (B.1) è che l’errore relativo di $\sigma$ dipende solo dal numero di misure; diminuisce poi all’aumentare di esso, ma questa diminuzione è inversamente proporzionale alla radice quadrata di $N$ e risulta perciò lenta.

In altre parole, per diminuire l’errore relativo di $\sigma$ di un ordine di grandezza occorre aumentare il numero delle misure di due ordini di grandezza; ${\sigma }_{\sigma }/\sigma$ è (circa) il 25% per 10 misure, il 7% per 100 misure ed il 2% per 1000 misure effettuate: e questo è sostanzialmente il motivo per cui, di norma, si scrive l’errore quadratico medio dando per esso una sola cifra significativa.

Due cifre significative reali per $\sigma$ corrisponderebbero infatti ad un suo errore relativo compreso tra il 5% (se la prima cifra significativa di $\sigma$ è 1, ad esempio $\sigma =10\pm 0.5$) e lo 0.5% ($\sigma =99\pm 0.5$); e presupporrebbero quindi che siano state effettuate almeno 200 misure nel caso più favorevole e quasi 20^·000 in quello più sfavorevole.