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Appendice C

Covarianza e correlazione

C.1 La covarianza

Per due variabili casuali $x$ ed $y$ si definisce la covarianza, che si indica con uno dei due simboli $Cov (x, y)$ o $K_{x y}$ , nel seguente modo:

$Cov (x, y)$	$= E {[x - E (x)] [y - E (y)]}$
	$= E (x y) - E (x) \cdot E (y)$ .

Per provare l’equivalenza delle due forme, basta osservare che^[1]

$Cov (x, y)$	$= E {[x - E (x)] [y - E (y)]}$
	$= \sum_{i j} P_{i j} [x_{i} - E (x)] [y_{j} - E (y)]$
	$= \sum_{i j} P_{i j} x_{i} y_{j} - E (x) \sum_{i j} P_{i j} y_{j} - E (y) \sum_{i j} P_{i j} x_{i} +$
	$+ E (x) E (y) \sum_{i j} P_{i j}$
	$= E (x y) - E (x) \sum_{j} q_{j} y_{j} - E (y) \sum_{i} p_{i} x_{i} + E (x) E (y)$
	$= E (x y) - E (x) \cdot E (y)$

ricordando alcune relazioni già ricavate nel capitolo 5, e valide per variabili casuali qualunque: in particolare, anche non statisticamente indipendenti.

↑ Nel seguito useremo per la varianza, per le probabilità di ottenere i vari valori $x_{i}$ o $y_{j}$ e così via, le stesse notazioni già introdotte nel capitolo 5.

255

[1] Nel seguito useremo per la varianza, per le probabilità di ottenere i vari valori $x_{i}$ o $y_{j}$ e così via, le stesse notazioni già introdotte nel capitolo 5.

[1]