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e $P(M,N)$ risulterà minore, uguale o maggiore di $P(M+1,N)$ a seconda che $(M+1)q$ risulti minore, uguale o maggiore di $(N-M)p$; ossia, essendo $p+q=1$, a seconda che $M$ sia minore, uguale o maggiore di $Np-q$.

Insomma, chiamato $\mu =\lceil Np-q\rceil$ il più piccolo intero non minore di $Np-q$, la sequenza di valori $P(0,N),P(1,N),\ldots ,P(\mu ,N)$ è crescente, mentre quella dei valori $P(\mu +1,N),P(\mu +2,N),\ldots ,P(N,N)$ è decrescente. Il massimo valore della probabilità si ha in corrispondenza ad un intero $\mu$ che soddisfi la

$Np-q\;\leq \;\mu \;\leq \;Np-q+1\;=\;Np+p$

e che è unico, salvo il caso che i due estremi dell’intervallo siano entrambi numeri interi: in questo caso si hanno due valori massimi, uguali, in corrispondenza di entrambi. Concludendo: il caso più probabile è che l’evento $E$ si presenti in una sequenza di $N$ prove $Np$ volte, ed il valore di $\lambda$ con la massima probabilità di presentarsi è 0.

Cerchiamo ora di determinare se esiste e quanto vale il limite della probabilità di ottenere un certo risultato al crescere indefinito del numero delle prove. Per ottenere questo, introduciamo la formula approssimata di de Moivre e Stirling¹ per il fattoriale:

$N!\;=\;N^{N}e^{-N}{\sqrt {2\pi N}}\,(1+\epsilon _{N})\;\approx \;{\sqrt {2\pi }}\,N^{\left(N+{\frac {1}{2}}\right)}e^{-N}$

con

$0\;\leq \;\epsilon _{N}\;<\;{\frac {1}{11\cdot N}}$.

È lecito trascurare il resto $\epsilon _{N}$ quando l’argomento del fattoriale è elevato: per $N=10$ l’errore commesso è già inferiore all’1%. Per usare la formula di de Moivre e Stirling nel nostro caso, sviluppiamo

$(Np+\lambda )!$	$\approx {\sqrt {2\pi }}\,(Np+\lambda )^{\left(Np+\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}e^{\left(-Np-\lambda \right)}$
	$={\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {\lambda }{Np}}\right)^{\left(Np+\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}e^{\left(-Np-\lambda \right)}(Np)^{\left(Np+\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}$

e, similmente,

$(Nq-\lambda )!\approx {\sqrt {2\pi }}\left(1-{\frac {\lambda }{Nq}}\right)^{\left(Nq-\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}e^{\left(-Nq+\lambda \right)}(Nq)^{\left(Nq-\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}$.

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1. Per la dimostrazione, vedi ad esempio: G. Castelnuovo — Calcolo delle probabilità (Zanichelli), in appendice. La formula è dovuta al solo Stirling, che la pubblicò nel suo libro “Methodus Differentialis” del 1730; ma non divenne nota nel mondo scientifico fino a quando de Moivre non la usò — da qui il nome comunemente adottato.