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Appendice D - Il modello di Laplace e la funzione di Gauss

Queste approssimazioni sono valide quando gli argomenti dei fattoriali, $Np+\lambda$ e $Nq-\lambda$, sono abbastanza grandi: cioè quando $\lambda$ non è vicino ai valori limite $-Np$ e $Nq$; accettata la loro validità (e ritorneremo su questo punto tra poco), sostituendo si ha

$P(\lambda ,N)\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi Npq}}}\left(1+{\frac {\lambda }{Np}}\right)^{-\left(Np+\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}\left(1-{\frac {\lambda }{Nq}}\right)^{-\left(Nq-\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}$.

Questa espressione è certamente valida quando $|\lambda |$ non è troppo grande, e per $\lambda =0$ fornisce la probabilità del valore medio di $M$ ($M=Np$), che risulta

$P(0,N)={\frac {1}{\sqrt {2\pi Npq}}}$.

Questa probabilità tende a zero come $1/{\sqrt {N}}$ al crescere di $N$; dato che la somma delle probabilità relative a tutti i casi possibili deve essere 1, si deve concludere che il numero di valori di $\lambda$ per cui la probabilità non è trascurabile rispetto al suo massimo deve divergere come ${\sqrt {N}}$ al crescere di $N$, sebbene il numero di tutti i possibili valori (che è $N+1$) diverga invece come $N$.

L’espressione approssimata di $P(\lambda ,N)$ non è valida per valori di $\lambda$ prossimi agli estremi $\lambda =-Np$ e $\lambda =Nq$ (è infatti divergente); tuttavia tali valori hanno probabilità infinitesime di presentarsi al crescere di $N$. Infatti $P(-Np,N)=q^{N}$ e $P(Nq,N)=p^{N}$, ed entrambi tendono a zero quando $N$ tende all’infinito essendo sia $p$ che $q$ inferiori all’unità.

Concludendo: la formula approssimata da noi ricavata è valida già per valori relativamente piccoli di $N$, e per $N$ molto grande si può ritenere esatta per tutti i valori dello scarto $\lambda$ con probabilità non trascurabile di presentarsi, valori che sono mediamente dell’ordine dell’errore quadratico medio ${\sqrt {Npq}}$ e che quindi divergono solo come ${\sqrt {N}}$. Consideriamo ora il fattore

$\kappa =\left(1+{\frac {\lambda }{Np}}\right)^{-\left(Np+\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}\left(1-{\frac {\lambda }{Nq}}\right)^{-\left(Nq-\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}$

che nell’espressione approssimata di $P(\lambda ,N)$ moltiplica il valore massimo $P(0,N)$, e se ne prenda il logaritmo naturale:

$\ln \kappa \;=\;-\left(Np+\lambda +{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {\lambda }{Np}}\right)\;-\;\left(Nq-\lambda +{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1-{\frac {\lambda }{Nq}}\right).$

Ora, poiché sia $\lambda /Np$ che $\lambda /Nq$ sono in modulo minori dell’unità (salvi i due casi estremi, di probabilità come sappiamo infinitesima), si possono