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3.3 - Proprietà della probabilità 25

vedere che questi eventi casuali sono, se considerati a due a due, statisticamente indipendenti: e per ipotesi, e perché , ed infine e perché anche ; ma gli stessi tre eventi, se vengono considerati nel loro complesso, non sono tutti statisticamente indipendenti — perché il verificarsi di assieme a rende poi impossibile il verificarsi di .


3.3.4 Il teorema di Bayes

Supponiamo che un dato fenomeno casuale possa dare luogo a eventualità mutuamente esclusive , che esauriscano inoltre la totalità delle possibilità; e sia poi un differente fenomeno casuale che possa condurre o al verificarsi o al non verificarsi di un evento . Osservando la realizzazione di entrambi questi fenomeni, se si verifica, assieme ad esso si dovrà verificare anche una ed una sola delle eventualità ; applicando prima la legge della probabilità totale (3.2) e poi l’equazione (3.3), si ottiene

. (3.5)

Ora, riprendendo la legge fondamentale delle probabilità condizionate (3.3), ne ricaviamo


e, sostituendovi la (3.5), si giunge alla

. (3.6)

L’equazione (3.6) è nota con il nome di Teorema di Bayes, e viene spesso usata nel calcolo delle probabilità; talvolta anche, come adesso vedremo, quando le non siano tanto eventi casuali in senso stretto, quanto piuttosto ipotesi da discutere per capire se esse siano o meno rispondenti alla realtà.

Facendo un esempio concreto, si abbiano due monete: una “buona”, che presenti come risultato la testa e la croce con uguale probabilità (dunque pari a 0.5); ed una “cattiva”, con due teste sulle due facce. Inizialmente si sceglie una delle due monete; quindi avremo due eventualità mutuamente esclusive: (è stata scelta la moneta “buona”) e (è stata scelta la moneta “cattiva”) con probabilità rispettive . Se lʼevento casuale consiste nellʼuscita di una testa, ovviamente e .