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Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete

allora

${{\sigma }_F}^2=a^2{{\sigma }_x}^2+b^2{{\sigma }_y}^2+c^2{{\sigma }_z}^2+\cdots$.

(5.5)

5.5 Lʼerrore della media dei campioni

Torniamo ora ad occuparci dello studio delle proprietà statistiche della media aritmetica di un campione di $N$ misure indipendenti estratto da una popolazione,

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i;$

e cerchiamo in particolare di determinarne la varianza. Applicando lʼequazione (5.5) appena dimostrata, risulta

${{\sigma }_{\overline{x}}}^2$	$=\frac{1}{N^2}\sum _{i=1}^N{{\sigma }_{x_i}}^2$
	$=\frac{1}{N^2}\cdot N{{\sigma }_x}^2$

ed infine

${{\sigma }_{\overline{x}}}^2=\frac{{{\sigma }_x}^2}{N}$

(5.6)

In definitiva abbiamo dimostrato che

• Le medie aritmetiche di campioni di N misure hanno varianza pari alla varianza della popolazione da cui le misure provengono, divisa per la dimensione dei campioni;

e conseguentemente

• Lʼerrore quadratico medio della media di un campione è minore dellʼanalogo errore delle singole misure, e tende a zero al crescere del numero di misure effettuato.