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5.4 - La varianza delle combinazioni lineari | 53 |
Infatti, se le due variabili casuali e soddisfano questa ipotesi, allora deve risultare:
. |
Ora, date due variabili casuali e qualsiasi, ed una loro generica combinazione lineare , basta definire altre due variabili casuali ausiliarie
ed |
(che ovviamente soddisfano l’ipotesi di avere speranza matematica zero): pertanto la loro combinazione lineare , che differisce anch’essa da per un fattore costante e pari ad , avrà varianza che, in conseguenza della (5.4), sarà data dalla
.
Ma per quanto detto, e hanno la stessa varianza; così ed , e e . Ne consegue come per qualsiasi coppia di variabili casuali (purché però statisticamente indipendenti) vale la relazione (5.4), che possiamo enunciare nel modo seguente:
- Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabili casuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale alla combinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati dei coefficienti rispettivi1.
È ovvio poi estendere (per induzione completa) questo risultato alla combinazione lineare di un numero finito qualsivoglia di variabili casuali, che siano però sempre tra loro tutte statisticamente indipendenti: se
- ↑ O, come si usa dire in sintesi, gli errori si combinano quadraticamente. Una formula più generale, che si può applicare a coppie di variabili casuali qualunque, verrà dimostrata nell’appendice C.