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5.4 - La varianza delle combinazioni lineari

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Infatti, se le due variabili casuali $x$ e $ξ$ soddisfano questa ipotesi, allora deve risultare:

$ξ$	$=$	$x + K$
$E (ξ)$	$=$	$E (x) + K$
${σ_{ξ}}^{2}$	$=$	$E {[ξ - E (ξ)]^{2}}$
	$=$	$E {[x + K - E (x) - K]^{2}}$
	$=$	$E {[x - E (x)]^{2}}$
	$=$	${σ_{x}}^{2}$ .

Ora, date due variabili casuali $x$ e $y$ qualsiasi, ed una loro generica combinazione lineare $z = a x + b y$ , basta definire altre due variabili casuali ausiliarie

ξ = x - E (x)

ed

η = y - E (y)

(che ovviamente soddisfano l’ipotesi di avere speranza matematica zero): pertanto la loro combinazione lineare $ζ = a ξ + b η$ , che differisce anch’essa da $z$ per un fattore costante e pari ad $a E (x) + b E (y)$ , avrà varianza che, in

conseguenza della (5.4), sarà data dalla

${σ_{ζ}}^{2} = a^{2} {σ_{ξ}}^{2} + b^{2} {σ_{η}}^{2}$ .

Ma per quanto detto, $x$ e $ξ$ hanno la stessa varianza; così $y$ ed $η$ , e $z$ e $ζ$ . Ne consegue come per qualsiasi coppia di variabili casuali (purché però statisticamente indipendenti) vale la relazione (5.4), che possiamo enunciare nel modo seguente:

Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabili casuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale alla combinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati dei coefficienti rispettivi^[1].

È ovvio poi estendere (per induzione completa) questo risultato alla combinazione lineare di un numero finito qualsivoglia di variabili casuali, che siano però sempre tra loro tutte statisticamente indipendenti: se

$F = a x + b y + c z + \dots$

↑ O, come si usa dire in sintesi, gli errori si combinano quadraticamente. Una formula più generale, che si può applicare a coppie di variabili casuali qualunque, verrà dimostrata nell’appendice C.

[1] O, come si usa dire in sintesi, gli errori si combinano quadraticamente. Una formula più generale, che si può applicare a coppie di variabili casuali qualunque, verrà dimostrata nell’appendice C.

[1]