Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/89

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6.4 - FUNZIONE GENERATRICE E FUNZIONE CARATTERISTICA 73 (per una variabile continua, e <15X(i) = 2,, vt e“"’° (6-7) per una variabile discreta); e, se esistono i momenti di qualsiasi ordine rispetto all’origine, risulta anche °° (ir)’< <b»<(f) = Z T/\1< (6-6) 1<:0 ' dalla quale si ricava dk r , % Z mk , <6.9>

  1. 0

Queste funZiom sono importanti in virtu di una serie di teoremi, che citeremo qui senZa dimostrarli: • l momenti (se esistono fino a qualunque Ordine) caratteriZZano uni- vocamente una variabile casuale; se due variabili casuali hanno gli stessi momenti fino a qualsiasi Ordine, la loro densita di probabilita è identica. • La funZione generatrice esiste solo se esistono i momenti fino a qual- siasi Ordine; e anch’essa caratteriZZa univocamente una variabile ca- suale, nel senso che se due variabili hanno la stessa funZione genera- trice la loro densita di probabilità è identica. • La q5,C(t) prima definita si chiama anche trasformata di Fourier del- la funZione f (x); anch’essa caratteriZZa univocamente una variabile casuale nel senso su detto. Le proprieta che contraddistinguono una funZione che rappresenti una densità di probabilita implicano poi che la funZione caratteristica, a differenZa della funZione generatrice dei momenti, esista sempre per qualsiasi variabile casuale; la (6.9) e pero valida solo se i momenti esistono fino a qualsiasi ordine. lnoltre, se è nota la ,<(t), la si può sempre invertire (riottenendo da essa la f) attraverso la 1 +00 ~ixt f(x) = — e q5,<(t) dt (6.1©) 2Tr 600 (trasformata inversa di Fourier).