Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/90

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search


Vogliamo infine ricavare una relazione che ci sara utile piu avanti: siano le N variabili casuali continue xk (che supponiamo tutte statisticamente indipendenti tra loro), ognuna delle quali sia associata ad una particolare funzione caratteristica k(t); il problema che vogliamo affrontare consiste nel determinare la funzione caratteristica della nuova variabile casuale S, definita come loro somma:

S = Z Xk . k:1 Il valore di ogni xk sara univocamente definito dai possibili risultati di un qualche evento casuale Ek; per cui la S si puo pensare univocamente definita dalle possibili associazioni di tutti i risultati di questi N eventi - associazioni che, in sostanza, corrispondono alle possibili posiziom di un punto in uno spazio cartesiano N -dimensionale, in cui ognuna delle variabili xk sia rappresentata su uno degli assi. Visto che i valori xk sono (per ipotesi) tra loro tutti statisticamente indipendenti, la probabilita di ottenere una particolare N -pla è data dal prodotto delle probabilità relative ad ogni singolo valore: e, se indichiamo con fk(xk) la funzione densita di probabilita della generica xk, la probabilità di ottenere un determinato valore per la S è data da

dP E 9($) dS I H f1<(><1<) dxk k:1 (dS rappresenta un intorno (ipercubico) infinitesimo del punto S, di coordinate cartesiane (xk} nello spazio N -dimensionale prima descritto, corrispondente agli N intorni unidimensionali dxk dei valori assunti dalle N variabili casuali xk); e la densità di probabilita per la S vale quindi N g - Hfk<xk> . k:1 La funzione caratteristica di S è, dall’equazione di defimzione (6.6), +00 <15s(i> =l e“Sy(S>dS +<><> N ' = l H @“"’°fk(><k> dxk T°° k:1 ed infine N <bs(f) = H 1<(f) (6-11) k:1