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Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue

Vogliamo infine ricavare una relazione che ci sarà utile più avanti: siano le N variabili casuali continue $x_{k}$ (che supponiamo tutte statisticamente indipendenti tra loro), ognuna delle quali sia associata ad una particolare funzione caratteristica $ϕ_{k} (t)$ ; il problema che vogliamo affrontare consiste nel determinare la funzione caratteristica della nuova variabile casuale S, definita come loro somma:

$S = \sum_{k = 1}^{N} x_{k}$ .

Il valore di ogni $x_{k}$ sarà univocamente definito dai possibili risultati di un qualche evento casuale $E_{k}$ ; per cui la S si può pensare univocamente definita dalle possibili associazioni di tutti i risultati di questi N eventi — associazioni che, in sostanza, corrispondono alle possibili posizioni di un punto in uno spazio cartesiano N-dimensionale, in cui ognuna delle variabili $x_{k}$ sia rappresentata su uno degli assi.

Visto che i valori $x_{k}$ sono (per ipotesi) tra loro tutti statisticamente indipendenti, la probabilità di ottenere una particolare N-pla è data dal prodotto delle probabilità relative ad ogni singolo valore: e, se indichiamo con $f_{k} (x_{k})$ la funzione densità di probabilità della generica $x_{k}$ , la probabilità di ottenere un determinato valore per la S è data da

$d P \equiv ℊ (S) d S = \prod_{k = 1}^{N} f_{k} (x_{k}) d x_{k}$

(dS rappresenta un intorno (ipercubico) infinitesimo del punto S, di coordinate cartesiane ${x_{k}}$ nello spazio N-dimensionale prima descritto, corrispondente agli N intorni unidimensionali $d x_{k}$ dei valori assunti dalle N variabili casuali $x_{k}$ ); e la densità di probabilità per la S vale quindi

$ℊ (S) = \prod_{k = 1}^{N} f_{k} (x_{k})$ .

La funzione caratteristica di S è, dall’equazione di definizione (6.6),

$ϕ_{S} (t)$	$= \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i t S} ℊ (S) d S$
	$= \int_{- \infty}^{+ \infty} \prod_{k = 1}^{N} e^{i t x_{k}} f_{k} (x_{k}) d x_{k}$

ed infine

ϕ_{S} (t) = \prod_{k = 1}^{N} ϕ_{k} (t)

(6.11)