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Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue

Vogliamo infine ricavare una relazione che ci sarà utile più avanti: siano le N variabili casuali continue $x_{k}$ (che supponiamo tutte statisticamente indipendenti tra loro), ognuna delle quali sia associata ad una particolare funzione caratteristica $\phi _{k}(t)$; il problema che vogliamo affrontare consiste nel determinare la funzione caratteristica della nuova variabile casuale S, definita come loro somma:

$S=\sum _{k=1}^{N}x_{k}$.

Il valore di ogni $x_{k}$ sarà univocamente definito dai possibili risultati di un qualche evento casuale $E_{k}$; per cui la S si può pensare univocamente definita dalle possibili associazioni di tutti i risultati di questi N eventi — associazioni che, in sostanza, corrispondono alle possibili posizioni di un punto in uno spazio cartesiano N-dimensionale, in cui ognuna delle variabili $x_{k}$ sia rappresentata su uno degli assi.

Visto che i valori $x_{k}$ sono (per ipotesi) tra loro tutti statisticamente indipendenti, la probabilità di ottenere una particolare N-pla è data dal prodotto delle probabilità relative ad ogni singolo valore: e, se indichiamo con $f_{k}(x_{k})$ la funzione densità di probabilità della generica $x_{k}$, la probabilità di ottenere un determinato valore per la S è data da

$\mathrm {d} P\equiv {\mathcal {g}}(S)\mathrm {d} S=\prod _{k=1}^{N}f_{k}(x_{k})\,\mathrm {d} x_{k}$

(dS rappresenta un intorno (ipercubico) infinitesimo del punto S, di coordinate cartesiane $\{x_{k}\}$ nello spazio N-dimensionale prima descritto, corrispondente agli N intorni unidimensionali $\mathrm {d} x_{k}$ dei valori assunti dalle N variabili casuali $x_{k}$); e la densità di probabilità per la S vale quindi

${\mathcal {g}}(S)=\prod _{k=1}^{N}f_{k}(x_{k})$.

La funzione caratteristica di S è, dall’equazione di definizione (6.6),

$\phi _{S}(t)$	$=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{itS}{\mathcal {g}}(S)\,\mathrm {d} S$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\prod _{k=1}^{N}e^{itx_{k}}f_{k}(x_{k})\,\mathrm {d} x_{k}$

ed infine

$\phi _{S}(t)=\prod _{k=1}^{N}\phi _{k}(t)$

(6.11)