Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/91

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6.4 — FUNZIONE GENERATRICE E FUNZIONE CARATTERISTICA 75 Quindi la funzione caratteristica della somma ai N variabili casuali statisti- camente inaipenaenti e pari al prodotto delle loro funzioni caratteristiche. 6.4.1 Funzioni caratteristiche di variabili discrete Invece della funzione caratteristica definita attraverso la (6.7), e che è una funzione complessa di variabile reale, talvolta, per variabili casuali discre- te, viene usata una rappresentazione equivalente ricorrendo alla variabile complessa 2 = eli . Sostituendo questa definizione di 2 nella (6.7) si ottiene la funzione caratte- ristica ai variabile complessa ¢»<(Z) Z ZkP1<ZX" Z E(ZX) i che ha proprietà analoghe a quelle della funzione caratteristica di variabile reale q5,C(t). ln particolare, definendo una variabile casuale w come som- ma di due altre variabili x e y discrete e tra loro indipendenti, la funzione caratteristica di variabile complessa q5w(2) è ancora il prodotto delle due funzioni caratteristiche q5,C(2) e q5y(2): infatti ¢w<z> Z Z,,Pr<»<j> Pr<yk>z<XM) = Zj Pr(xj)2"J - ZkPr(yk) zyk Z <l5x(Z) · <by(2) ; e, generalizzando per induzione completa, la somma S di un numero prefis- sato N di variabili casuali discrete e tutte tra loro indipendenti N S = Z Xk kji è anch’essa associata alla funzione caratteristica di variabile complessa N <bs(2) = l—[ <b»«,,(2) · k:1 Nel caso particolare, poi, in cui le N variabili provengano dalla stessa popo- lazione, N <15s(2) = [<15x(2')] · (6-12)