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6.5 - Cambiamento di variabile casuale

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6.5 Cambiamento di variabile casuale

Supponiamo sia nota la funzione $f(x)$ densità di probabilità della variabile casuale x; e sia y una nuova variabile casuale definita in funzione della x attraverso una qualche relazione matematica $y=y(x)$. Ci proponiamo di vedere come, da queste ipotesi, si possa ricavare la densità di probabilità $g(y)$ della nuova variabile y.

Supponiamo dapprima che la corrispondenza tra le due variabili continue sia biunivoca: ossia che la $y=y(x)$ sia una funzione monotona in senso stretto, crescente o decrescente, e di cui quindi esista la funzione inversa che indicheremo con $x=x(y)$; ed inoltre supponiamo che la $y(x)$ sia derivabile. Questo, dovendo risultare $y^{\prime }(x)\ne 0$ in conseguenza dell’ipotesi fatta, implica che sia derivabile anche la $x(y)$ e che risulti

$x^{\prime }(y)=\frac{1}{y^{\prime }[x(y)]}$.

L’asserita biunivocità della corrispondenza tra le due variabili assicura che, se la prima e compresa in un intervallo infinitesimo di ampiezza dx centrato sul generico valore x, allora e solo allora la seconda è compresa in un intervallo di ampiezza $\mathrm{d}y=|y^{\prime }(x)|\mathrm{d}x$ (il valore assoluto tiene conto del fatto che la $y(x)$ può essere sia crescente che decrescente) centrato attorno al valore $y=y(x)$. Questo a sua volta implica che le probabilità (infinitesime) degli eventi casuali consistenti nell’essere la x o la y appartenenti a tali intervalli debbano essere uguali: ossia che risulti

$f(x)\mathrm{d}x=g(y)\mathrm{d}y=g(y)|y^{\prime }(x)|\mathrm{d}x$

identicamente per ogni x, il che è possibile soltanto se

$g(y)=\frac{f(x)}{|y^{\prime }(x)|}=\frac{f^{\prime }[x(y)]}{|y^{\prime }[x(y)]|}=f[x(y)]\cdot |x^{\prime }(y)|$.

(6.15)

Se la relazione che lega y ad x non è invece biunivoca, i ragionamenti sono più complicati e devono essere fatti tenendo conto della natura della particolare funzione in esame; ad esempio, se

$y=x^2$

e quindi

$x=\pm \sqrt{y}$

un particolare valore per la y corrisponde a due eventualità (mutuamente esclusive) per la x; perciò

$g(y)\mathrm{d}y=[f(-\sqrt{y})+f(\sqrt{y})]\mathrm{d}x$