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Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue

e quindi

$g(y)=\left[f(-{\sqrt {y}})+f({\sqrt {y}})\right]\cdot \left|x'(y)\right|={\frac {f(-{\sqrt {y}})+f({\sqrt {y}})}{2{\sqrt {y}}}}$.

Per quello che riguarda la funzione generatrice dei momenti e la funzione caratteristica associate a variabili casuali definite l’una in funzione dell’altra, se ci limitiamo a considerare una trasformazione lineare del tipo $y=ax+b$, vale la

$M_{y}(t)$	$=E\left(e^{ty}\right)$
	$=E\left[e^{t(ax+b)}\right]$
	$=e^{tb}\,E\left(e^{tax}\right)$

da cui infine ricaviamo la

$M_{y}(t)=e^{tb}M_{x}(at)$

(6.16)

per la funzione generatrice dei momenti; e potremmo ricavare l’analoga

$\phi _{y}(t)=e^{itb}\phi _{x}(at)$

(6.17)

per la funzione caratteristica (si confronti anche la funzione (6.5), prima usata per ricavare i momenti rispetto alla media, e che si può pensare ottenuta dalla (6.4) applicando alla variabile casuale una traslazione che ne porti il valore medio nell’origine).

6.6 I valori estremi di un campione

Sia x una variabile casuale continua, di cui siano note sia la funzione di frequenza $f(x)$ che la funzione di distribuzione $F(x)$; e sia disponibile un campione di dimensione N di valori indipendenti di questa variabile casuale. Supponiamo inoltre, una volta ottenuti tali valori, di averli disposti in ordine crescente: ovvero in modo che risulti $x_{1}\leq x_{2}\leq \ldots \leq x_{N}$. Vogliamo qui, come esercizio, determinare la funzione di frequenza del generico di questi