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Capitolo 7

Variabili casuali pluridimensionali

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Può avvenire che un evento casuale complesso E sia decomponibile in N eventi semplici $E_{i}$, ognuno dei quali a sua volta sia descrivibile mediante una variabile casuale $x_{i}$ (che supporremo continua); le differenti modalità dell’evento E si possono allora associare univocamente alla N-pla dei valori delle $x_{i}$, ossia alla posizione di un punto in uno spazio cartesiano N-dimensionale.

7.1 Variabili casuali bidimensionali

Nel caso multidimensionale più semplice, $N=2$, se supponiamo che la probabilità dP per la coppia di variabili casuali x ed y di trovarsi nell’intorno (infinitesimo) di una certo punto dello spazio bidimensionale sia proporzionale all’ampiezza dell’intorno stesso e dipenda dalla sua posizione, possiamo definire la densità di probabilità (o funzione di frequenza) congiunta, $f(x,y)$, attraverso la

$\mathrm {d} P=f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$;

e, analogamente a quanto fatto nel caso unidimensionale, definire poi attraverso di essa altre funzioni. Ad esempio la funzione di distribuzione congiunta,

$F(x,y)=\int _{-\infty }^{x}\mathrm {d} u\,\int _{-\infty }^{y}\mathrm {d} v\,f(u,v)$

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