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Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/98

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82 Capitolo 7 - Variabili casuali pluridimensionali

che dà la probabilità di ottenere valori delle due variabili non superiori a quantità prefissate; le funzioni di frequenza marginali

e

che rappresentano la densità di probabilità di ottenere un dato valore per una delle due variabili qualunque sia il valore assunto dall’altra; ed infine le funzioni di distribuzione marginali

e

La condizione di normalizzazione si potrà poi scrivere

.

Per un insieme di due variabili si possono poi definire le funzioni di frequenza condizionate, e ; esse rappresentano la densità di probabilità dei valori di una variabile quando già si conosce il valore dell’altra. Per definizione deve valere la


per cui tra probabilità condizionate, marginali e congiunte valgono la

e la

Due variabili casuali sono, come sappiamo, statisticamente indipendenti tra loro quando il fatto che una di esse abbia un determinato valore non altera le probabilità relative ai valori dell’altra: ovvero quando

e ; (7.1)

e questo a sua volta implica che

(7.2)

Non è difficile poi, assunta vera la (7.2), giungere alla (7.1); in definitiva:

Due variabili casuali continue sono statisticamente indipendenti tra loro se e solo se la densità di probabilità congiunta è fattorizzabile nel prodotto delle funzioni marginali.