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ancora in lezioni date all’Università di Padova tra il 1885 e il 1890 che servirono di preparazione alla pubblicazione dei Fondamenti stessi, tenendo ora conto delle pubblicazioni successive.
Gli oggetti della matematica pura non hanno necessariamente una rappresentazione fuori del pensiero, ad es. il numero, che è nella sua prima formazione il risultato dell’operazione mentale dell’enumerare degli oggetti anche astratti. La verità ha il suo primo fondamento sui principi logici e su semplici operazioni mentali universalmente consentite. La libertà dello spirito nelle sue creazioni è limitata soltanto dal principio di contraddizione, onde un’ipotesi è matematicamente possibile quando non è in contraddizione colle premesse. La matematica pura, come la logica formale, è per noi esatta.
La Geometria invece ha la sua origine nell’osservazione diretta degli oggetti del mondo esteriore, che è lo spazio fisico, e dall’osservazione idealizzata di essi trae le sue prime e precise verità indimostrabili e necessarie al suo svolgimento teoretico, che sono gli assiomi propriamente detti, come ad es. quello che per due punti nel campo della nostra osservazione passa un solo oggetto rettilineo. Ma per essere esatta la geometria essa deve rappresentare gli oggetti forniti dall’osservazione per mezzo di forme astratte o mentali e gli assiomi con ipotesi bene determinate, indipendenti cioè dall’intuizione spaziale, cosicchè la geometria diventi parte della matematica pura, ossia dell’estensione astratta (Ausdehnungslehre), dove il geometra proceda nelle sue costruzioni senza bisogno di vedere se esse abbiano o no una rappresentazione esteriore, finchè non le applichi al mondo fisico, senza per questo che egli abbia ad abbandonare la visione delle figure e tutti i vantaggi che derivano dall’uso dell’intuizione nella ricerca geometrica. Epperò la esattezza della geometria sarà tanto maggiore quanto più sicura sarà quella degli assiomi suggeriti dall’osservazione
e quindi quanto più essi saranno semplici e nel minor numero 1. Ed invero l’osservazione non è che approssimativa e talora anche apparente e fallace, come quando muovendoci noi vediamo cambiare la grandezza degli oggetti, mentre dalle leggi della prospettiva si sa che tale fatto non sussiste. Evitando ad es. l’assioma fondamentale del piano, riducendo cioè gli assiomi a quelli più semplici della retta e fra due rette, non solo si rimedia al difetto riscontrato da Gauss in quell’assioma, ma si risparmia la dimostrazione della possibilità di tale assioma quando lo si estende a tutto il piano illimitato, oltre che si dà alla costruzione dello spazio a quattro dimensioni la stessa origine geometrica di quella del piano e dello spazio ordinario. Certo che la richiesta della semplicità e del minor numero degli assiomi conduce a inevitabili e minuziose ricerche. E questa minuziosità fa perdere di vista i concetti generali e costituisce una delle difficoltà nella lettura di tali ricerche, ove non si supponga nulla di matematicamente noto, e si ponga dinanzi a sè tutto, il pro-
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- ↑ Anche il Klein osserva che i dati di ogni osservazione valgono sempre entro certi limiti di esattezza e sotto particolari condizioni, mentre quando stabiliamo gli assiomi possiamo porre in luogo di questi dati delle proposizioni di assoluta precisione e generalità, e facendo ricorso al principio di Mach sull’economia del pensiero egli sostiene pure che gli assiomi devono essere semplici e nel minor numero (vedi Gutacten zur Verth. des Lobatsch. Preises, nov. 1897, Kasan, oppure Math. Ann., 50, 1898; Vorles. ü. Nicht-Eucl. Geom., Bd I, 1893).
