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Civita, ancora quando era studente, dietro mio consiglio, trattò per primo il problema dal lato aritmetico, costruendo i detti numeri per via aritmetica e completandoli anzi con l’introduzione di nuove unità, necessarie per altre operazioni. D’altro canto il sig. Hilbert con la costruzione di un campo geometrico non-archimedeo veniva a dare una conferma autorevole alla possibilità logica di una tale geometria, e il sig. Bindoni nella sua tesi di laurea dimostrava come il campo geometrico di Hilbert sia compreso nel mio. Le recenti ricerche sulla teoria degli aggregati, anche del sig. Schoenflies, confermano la validità logica di questa geometria, e le ultime ricerche sul problema del continuo rettilineo acquistano così maggior interesse, rimanendo però da stabilire in modo definitivo se, come pare, sia un solo il tipo dei numeri che vi soddisfano, anche aggiungendovi occorrendo altre unità, questioni codeste di cui si occuparono recentemente i signori Hahn, Schoenflies e Wahlen.
Assodata la validità logica del continuo rettilineo non-archimedeo, ne consegue pure quella della geometria non-archimedea, per la quale nei miei Fondamenti ho scelto la forma Riemanniana. E si ha che in un campo infinitesimo intorno ad un punto, considerando soltanto i segmenti finiti fra loro, o che soddisfano all’assioma d’Archimede, vale la geometria euclidea. Questo teorema fu poi dimostrato dal Levi-Civita anche per la geometria non-archimedea di Euclide e di Bolyai-Lobatschewsky.
E di questo teorema si possono riguardare come corollari i teoremi del sig. Dehn, trovati seguendo il metodo di Hilbert, sulle relazioni della somma degli angoli di un triangolo con le parallele condotte da un punto ad una retta, vale a dire che esistono due sistemi geometrici non-archimedei nei quali la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di due o eguale a due retti, mentre da un punto si possono condurre più parallele ad una retta data1.
La validità logica della geometria non-archimedea porta con sè l’indipendenza della teoria delle proporzioni, come quella della proiettività dal postulato di Archimede, di cui pure si occuparono seguendo metodi più semplici altri geometri, fra i quali Hilbert e Schur.
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Ma assodata la validità logica della geometria non-archimedea rimane la questione del contenuto e del metodo che furono pure oggetto di critiche, sebbene meno determinate. Permettetemi di intrattenerVi, per quanto il tempo me lo consente, su questo punto che può sembrare esorbiti dal campo matematico a chi è abituato nelle ricerche superiori della scienza a badare soltanto ai risultati, e a non dare importanza al contenuto degli oggetti matematici e al metodo, mentre il contenuto è di per sè un elemento essenziale nei principi della scienza e il metodo non bene scelto, possa anche condurre a petizioni di principio. Io mi servirò sotto altra veste di considerazioni, già vecchie, da me svolte nei Fondamenti di Geometria, e prima
- ↑ Basta infatti considerare un campo infinitesimo non archimedeo nel quale la somma degli angoli di un triangolo nella geometria Riemanniana o ellittica è maggiore di due retti e nella geometria Euclidea è eguale a due retti, e per un punto passano infinite parallele ad una retta data, quando si consideri la parte di esse rette comprese nel campo suddetto.
