Teoria degli errori e fondamenti di statistica/3.2

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

3.2 La probabilità: definizioni

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3.2 La probabilità: definizioni

La definizione "classica" di probabilità è la seguente:

“	Si definisce come probabilità di un evento casuale il rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell’evento stesso ed il numero totale di casi possibili, purché tutti questi casi possibili siano ugualmente probabili.	„

e se ne ricava immediatamente il seguente

“	COROLLARIO: la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra zero e uno, che assume il valore zero per gli eventi impossibili ed uno per quelli certi.	„

La definizione "classica" sembra sufficiente a permetterci di calcolare le probabilità di semplici eventi casuali che possano manifestarsi in un numero [p. 21 modifica]finito di modalità equiprobabili (ad esempio per i giochi d’azzardo), ma è intrinsecamente insoddisfacente perché racchiude in sé stessa una tautologia: si nota immediatamente come, per definire la probabilità, essa presupponga che si sia già in grado di valutare l’equiprobabilità delle varie modalità con cui può manifestarsi l’evento considerato. Nel caso di una variabile casuale continua, ciò si traduce nell’indeterminazione di quale tra le variabili topologicamente equivalenti (ossia legate da trasformazioni continue) sia quella equiprobabile, cioè con probabilità per ogni intervallo proporzionale all’ampiezza dell’intervallo stesso.

Si possono dare della probabilità definizioni più soddisfacenti dal punto di vista logico, ad esempio la seguente (definizione empirica¹, teorizzata da von Mises²): definiamo la frequenza relativa $f(E)$ con cui un evento casuale E si è presentato in un numero totale N di casi reali come il rapporto tra il numero n di volte in cui l’evento si è effettivamente prodotto (frequenza assoluta) ed il numero N delle prove effettuate; la probabilità di E si definisce euristicamente come l’estensione del concetto di frequenza relativa su un numero grandissimo di prove, cioè

$p(E)\;\approx \;\lim _{N\rightarrow \infty }f(E)\;=\;\lim _{N\rightarrow \infty }\left({\frac {n}{N}}\right).$

Note

↑ Anche questa definizione non è completamente soddisfacente dal punto di vista concettuale (come vedremo più in dettaglio nel paragrafo 3.5); ma è tra le più intuitive, perché tra le più vicine all’uso pratico.
↑ Richard von Mises fu un matematico che visse dal 1883 al 1953; compì ricerche nei campi della probabilità e della statistica, ma soprattutto in quello della matematica applicata alla meccanica dei fluidi (nel 1913 istituì all’Università di Vienna il primo corso al mondo sul volo, e nel 1915 progetto un aereo che pilotò personalmente nel corso della I guerra mondiale).

[1] Anche questa definizione non è completamente soddisfacente dal punto di vista concettuale (come vedremo più in dettaglio nel paragrafo 3.5); ma è tra le più intuitive, perché tra le più vicine all’uso pratico.

[2] Richard von Mises fu un matematico che visse dal 1883 al 1953; compì ricerche nei campi della probabilità e della statistica, ma soprattutto in quello della matematica applicata alla meccanica dei fluidi (nel 1913 istituì all’Università di Vienna il primo corso al mondo sul volo, e nel 1915 progetto un aereo che pilotò personalmente nel corso della I guerra mondiale).

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