Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.2.6

by Maurizio Loreti

4.2.6 La media aritmetica espressa tramite le frequenze

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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4.2.6 La media aritmetica espressa tramite le frequenze

Siano $x_{i}$, con $i=1,\ldots ,N$, gli $N$ valori del campione di cui vogliamo calcolare la media aritmetica; supponiamo che qualcuno dei valori ottenuti sia ripetuto, ad esempio che il valore $x_{1}$ si sia presentato $n_{1}$ volte, $x_{2}$ si sia presentato $n_{2}$ volte e così via: la media aritmetica si può calcolare come

${\bar {x}}={\frac {n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots }{N}}$

$(N=n_{1}+n_{2}+\cdots )$.

Indichiamo con $x_{j}$ $(j=1,2,\ldots ,M)$ gli $M$ valori distinti di $x$ presenti nel campione; $n_{j}$ è la frequenza assoluta con cui abbiamo ottenuto il valore $x_{j}$ nel corso delle nostre misure, ed il rapporto $n_{j}/N$ è la frequenza relativa $f_{j}$ dello stesso evento casuale: allora possiamo scrivere

${\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{M}n_{j}x_{j}=\sum _{j=1}^{M}{\frac {n_{j}}{N}}x_{j}=\sum _{j=1}^{M}f_{j}x_{j}$.

Formule in cui si sommano valori numerici (qui gli $x_{j}$) moltiplicati ciascuno per un fattore specifico ($f_{j}$) vanno sotto il nome generico di formule di media pesata: ogni valore distinto dagli altri contribuisce infatti al risultato finale con un peso relativo dato dal numero $f_{j}$.

È bene osservare come si possano definire infinite medie pesate dei valori numerici $x_{j}$, corrispondenti alle infinite differenti maniere di attribuire ad ognuno di essi un peso; ed anche che, in genere, con il nome di “media pesata” ci si riferisce a quella particolare formula che permette di calcolare la migliore stima del valore vero di una grandezza fisica sulla base di più misure aventi differente precisione (lʼequazione (11.7), che incontreremo più avanti nel paragrafo 11.3), e non alla formula precedente.

Fin qui tale formula si presenta solo come un artificio per calcolare la media aritmetica di un insieme di valori risparmiando alcune operazioni; ma pensiamo di far tendere allʼinfinito il numero di misure effettuate. In tal caso, se assumiamo che la frequenza relativa con cui ogni valore si è presentato tenda stocasticamente alla probabilità rispettiva, in definitiva otteniamo che la media aritmetica delle misure deve anchʼessa tendere ad un limite determinato:

$\lim _{N\rightarrow \infty }{\bar {x}}=\sum \nolimits _{j}p_{j}x_{j}$.

In definitiva, se siamo in grado di assegnare in qualche modo una probabilità al presentarsi di ognuno dei possibili valori di una misura, siamo anche in grado di calcolare il valore assunto dalla media aritmetica di un campione di quei valori nel limite di infinite misure effettuate. Di questa formula ci serviremo più avanti, una volta ricavata appunto (sotto opportune ipotesi) la probabilità di ottenere un certo risultato dalle misure di una grandezza fisica.