Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.6.2

by Maurizio Loreti

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

5.6.2 Il teorema di Čhebyšef

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5.6.2 II teorema di Čebyšef

Adesso applichiamo la (5.7) alla variabile casuale ${\bar {x}}$, media aritmetica di un campione di dimensione $N$ di valori che supponiamo essere statisticamente indipendenti:

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }{\bar {x}}-E({\bar {x}}){\bigr \vert }\geq \epsilon {\Bigr )}\leq {\frac {{\sigma _{\bar {x}}}^{2}}{\epsilon ^{2}}};$

(5.9)

ma valendo, per questa variabile casuale, le

$E({\bar {x}})=E(x)$,

e

$\mathrm {Var} \left({\bar {x}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{N}},$

sostituendo nella (5.9) otteniamo

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }{\bar {x}}-E(x){\bigr \vert }\geq \epsilon {\Bigr )}\leq {\frac {\sigma ^{2}}{N\epsilon ^{2}}}$.

(5.10)

Ora, scelti comunque due numeri positivi $\epsilon$ e $\delta$, si può trovare in conseguenza un valore di $N$ per cui il secondo membro della (5.10) risulti sicuramente minore di $\delta$: basta prendere $N>M=\lceil \sigma ^{2}/(\delta \epsilon ^{2})\rceil$. In base alla definizione (3.8), questo significa che vale il

Teorema (di Čebyšef): il valore medio di un campione finito di valori di una variabile casuale qualunque converge statisticamente, allʼaumentare della dimensione del campione, alla speranza matematica per quella variabile.